☉江苏省清浦中学 吴洪生

让探究之花在课堂绽放
——以一节“直线与圆的位置关系”复习课为例

☉江苏省清浦中学 吴洪生

“直线方程和圆的方程”作为江苏高考的8个C级考点中的2个，是江苏高考的必考内容，也是重点考查的内容，尤以考查“直线与圆的位置关系”为主，既考小题也考大题.本节课从一道考题出发，铺展开去，引导学生重点从问题的几何属性这一视角进行探究，简化运算，快速求解.

一、试题呈现

考题 （江苏省淮阴中学2017高三4月模考第13题）如图1，已知直线y=kx+2与圆x2+y2=8交于A，B两点，M为AB的中点，C（4，4），则的最大值为_______.

二、解法探析

师：请同学们独立读题，仔细审题，认真思考，拿出解决方案.

图1

师：能具体说说第一步怎么办吗？

生1：设A（x1，y1），B（x2，y），M（x，y），由，得200，（k2+1）x2+4kx-4=0，从而有x1+x2=-=2x0，将k代入上式并化简得，+（y-1）2=1.所以动点M的轨迹方程0为x2+（y-1）2=1.

师：生1同学的解法是通过消参法，消去参数k，得到动点M的轨迹方程，其方法实质就是我们平时所讲的“设而不求”.请大家再思考，还有其他办法吗？

生2：用点差法.设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则式相减得 （x1+x2）（x1-x2）+（y1+y）（y-y）=0，所以直线AB的斜率为k=212又点M在直线AB上，所以y=kx+2，从而有y=-+2，即

000有+（y0-1）2=1.所以动点M的轨迹方程为x2+（y-1）2=1.

师：同学们，解析几何主要是用代数方法研究几何问题，但它毕竞还是几何问题，能否从几何属性的视角加以考虑呢？

生3：直线y=kx+2恒过圆x2+y2=8内的定点P（0，2）.因为M为弦AB的中点，所以OM⊥AB，即OM⊥MP.由平几知识知，动点M在以OP为直径的圆Q上（设该圆圆心为Q），其方程为x2+（y-1）2=1.

师：非常好！生3同学的解法充分注意到直线与圆相交所得弦与弦心距垂直，以及圆的性质等几何属性，思路清晰，特点鲜明，方法简洁.