刘建科， 张 诚， 王 腾， 朱婉琳

(1.陕西科技大学 文理学院， 陕西 西安 710021； 2.陕西科技大学 材料科学与工程学院， 陕西 西安 710021)

机械波对脆性材料断裂的作用

刘建科1， 张 诚1， 王 腾2， 朱婉琳2

(1.陕西科技大学 文理学院， 陕西 西安 710021； 2.陕西科技大学 材料科学与工程学院， 陕西 西安 710021)

在继承Griffith (格里菲斯)断裂理论能量观点的基础上，通过对产生驻波(机械波形式驻波)现象的脆性材料进行力学理论分析，研究得到了在驻波振动过程中弹性势能对于脆性材料断裂的作用.在驻波分析所得结论的基础之上，将结论推广应用到一般机械波——行波，研究了加载速率、几何因素、行波能量大小对脆性材料断裂的作用，得到了适用于脆性材料断裂的普适性结论.

驻波； 脆性断裂； 几何因素

Abstract:Based on the energy concept of Griffith fracture theory,the impact of elastic potential on brittle materials is gotten by mechanical theory analysis of the brittle materials which producing standing-wave(in this article,the standing-wave is a kind of mechanical wave) phenomenon.On the base of conclusion that the analysis of standing wave phenomenon,the conclusion is spread and applied to universal mechanical wave-traveling wave,the loading rate,geometry factors in the fracture of brittle materials and the energy of traveling wave are researched and the universal conclusion adapting to the fracture of brittle materials are gotten.

Keywords:standing wave; brittle fracture; geometry factory

0 引言

1 产生驻波现象的材料各段受力情况分析

在材料内部，两列传输方向相反、频率相同的机械波通过相互叠加作用，形成稳定的驻波现象[11].

建立波节处受力模型，图1为某一时刻的驻波图形.

图1 某时刻驻波波形示意图

在坐标x处，取dx长度的线元，在其振动过程中线元的长度为dl；θ角为某时刻振动线元切线方向与x轴所在直线的夹角(两直线夹角取值范围为0 °～90 °)，在振动过程中线元dx长度的变化量Δ=dl-dx=dl(1-cosθ).在任意时刻，驻波图形均能由函数式y=Asinx来代替(式中A为一常数，对于确定的驻波而言，时刻确定，则坐标x处线元dx的切线与x轴所在直线的夹角也确定)，对函数式y=Asinx求导得y′=Acosx，当x=kπ(k=0,1,2,3,…)时，|y′|最大，即该点处切线斜率的绝对值最大，即tanθ值最大，θ值最大；x=kπ(k=0,1,2,3,…) 的位置，在驻波波动中即为驻波的波节位置处，因而波节处dx线元的切线与x轴所在直线的夹角在同时刻驻波图像中最大，因而位于驻波波节处线元dx在振动过程中的形变量Δ最大.

2 弹性势能在脆性材料断裂时所起的作用

Griffith从能量观点来研究裂纹扩展的临界条件[12].物体内储存的弹性应变能的降低值大于或等于形成两个新表面所需的表面能.在求理论强度时曾将此概念用于理想的完整晶体，而Griffith将此概念推广于有缺陷的裂纹体.Griffith认为物体内储存的弹性应变能的降低(或释放)就是裂纹扩展的动力[13].

图2 含有裂纹的板

由此，原来储存的弹性应变能就要降低，有裂纹后板内储存的弹性应变能为:

(1)

应变能降低为:

(2)

欲使裂纹进一步扩展，应变能将进一步降低，降低的数量应等于新表面所需的表面能.

由弹性理论可以算出，当人为割开长2C的裂纹时，平面应力状态下应变能的降低为：

(3)

式(3)中：C为裂纹的半长度，σ为外加应力，E为弹性模量.如为厚板则为平面应变状态，此时有：

(4)

式(4)中：μ为泊松比.

产生长度为2C，厚度为h的两个新表面，所需的表面能为:

Ws=4Gγ

(5)

式(5)中：γ为断裂表面能.

而：

(6)

(7)

得到临界应力：

(8)

若为平面应变状态，则为：

(9)

由(9)式可知，产生驻波现象的脆性材料，假设裂纹尺寸、裂纹密度在概率分布上是均匀的，则断裂发生最先出现在材料应力最大处，即驻波波节处.在原子间净约束力接近于其最大值的时候，由于相应的应变量高达0.3～0.4，因而就很难假定Hooke(胡克)定律仍然成立了[14].但对于研究对象为处于临界断裂状态下的波节处线元dx其依然满足Hooke定律

σ=E′ε

(10)

E′=fE

(11)

式(11)中：f<1为弹性模量修正系数，是与材料相关的确定值.

研究脆性材料产生驻波现象后波节处位置的力学状态，当受力达到临界状态时，有

(12)

(13)

代(13)入化简得：

(14)

若为平面应变状态，则代入化简得：

(15)

E、γ、C对于一确定的材料，其均为确定量，式(15)中的θ为驻波波节处线元dl振动达到临界断裂状态时与水平线的夹角，因而θ值也为一确定量.在正弦函数y=Asinnx中，若y=0处各点的斜率y′的绝对值相等，则正弦函数图像相似，在某时刻的驻波图像中即波节处线元dl与x轴所在直线的夹角相等，则驻波图像相似.由之前的讨论得知，在脆性材料形成驻波时，达到临界状态即将断裂之时，波节处线元dl与x轴所在直线的夹角为一定值θ，而与形成驻波的其他条件无关.

图3为相似的正弦函数图像.在驻波振动过程中，驻波波节处线元dl与x轴所在直线的夹角满足θ角(脆性材料在振动过程中未断裂之前的最大θ角，即临界θ角)相等，即正弦函数图像相似，脆性材料便在波节处发生脆性断裂.

图3 相似的正弦函数图像

脆性材料断裂的本质是能量作用的结果，在注入脆性材料形成驻波的能量之中仅有弹性势能Ep对脆性材料的断裂起到直接作用，当脆性材料的形变量大于其断裂的临界形变量时，脆性材料发生断裂.在形成驻波的脆性材料之中，波节处始终处于平衡位置，不做移动，不具有动能，由上推导可知波节处的形变量Δ始终为同时刻驻波图像各点形变量中的最大值(θ=0 °时除外)，即波节处的线元dx在上述任意时刻都具有同时刻驻波中最大的弹性应变能dEpmax.只有驻波波节处的能量对于脆性材料的断裂是“有用的”，其他驻波部位的能量对于脆性材料的断裂是“无用的”. 对于图3中所示时刻m图像波节处的线元dx进行能量分析，其弹性势能为：

(16)

对于图3所示时刻s图像波节处的线元dx进行能量分析，弹性势能为：

(17)

即有：dEpm=dEps

式(17)中：k为和材料性质有关的常数.

由此可见，如果脆性材料中微裂纹的尺寸大小，裂纹密度分布均匀之时，脆性材料的断裂强度与脆性材料的几何尺寸无关，仅仅只取决于驻波波节处线元dx弹性势能的大小.但在实际工业生产中，由于工艺因素的微弱变动以及环境变化的影响，脆性材料中所存在的微裂纹在尺寸大小、裂纹密度上并不能完全均匀一致，因此对于工业大生产中所得脆性材料其依然具有十分显著的尺寸效应.

3 行波对脆性材料断裂的作用

驻波形式的机械波作为机械波中的特例，其在实际材料因振动而发生脆性断裂的现象之中并不具有普遍性，下面讨论实际情况下行波对脆性材料断裂的作用机理.

在对产生驻波现象的脆性材料，进行各部分的受力分析之中，讨论了波节处位置对于脆性材料断裂的意义；由于波节处线元dx在振动过程中始终处于同时刻驻波中线元形变量Δ值的最大处，因而使得波节处线元dx始终处于“断裂危险”之中.行波相较于驻波而言，其同样存在一个类似于驻波中波节处线元dx的“危险位点”，不过与驻波波节处线元dx相对固定的位置不同，行波的“危险位点”随时间而在材料内部沿着行波传播方向移动.

图4为相似的行波图像.行波u上的e点，在经过π周期后(以行波u的周期为2π)，其沿行波传播方向移动到i点.将驻波中对于波节处线元dx的力学分析结论应用于对行波“危险位点”的分析，得到脆性材料在行波的作用下，其“危险位点”处的切线与水平t轴所在直线的夹角为θ角时，此时脆性材料中的“危险位点”处于临界断裂状态.

从对驻波现象的分析可知，在分析驻波对脆性材料断裂的作用时，仅仅考虑了波节处线元dx的作用，而对于形成驻波的其他部位未作适当考虑.

图4 相似的行波图像

脆性材料内部产生形波时，脆性材料内部的“结构粒子”会随着行波而“波动”，在半个行波波长的空间尺度内来看，脆性材料内部“结构粒子”的排列会出现“波谷”和“波峰”的现象，效果相当于在行波半个周期的时间内，外界施加给脆性材料一个“压头”，使脆性材料内部的“结构粒子”排列为“波峰”或“波谷”.由此可见在脆性材料中所形成行波的几何因素对于断裂的贡献有着和“压头”类似的作用机理.

对于如图4所示的行波u和w，两列行波“危险位点”处的线元dx达到同样临界形变量Δ值所经历的时间不同.设行波w的函数表达式为y=Asint，行波u的函数表达式为：

(18)

(19)

对于脆性材料而言，加载速率越大，其越容易断裂.

对于产生行波的脆性材料而言，波动中“结构粒子”所构成波形图的曲率与脆性材料的断裂密切相关.对于一确定的脆性材料而言，其弯曲变形程度越大(曲率K越大)，其越容易发生断裂.

对于一确定的脆性材料，注入脆性材料中的能流密度I越大，脆性材料越容易断裂.

现假设存在一描述脆性材料断裂难易程度的物理量ψ.由以上分析讨论可知，对于脆性材料在行波波动作用下的断裂而言，其只需考虑可以代表行波力学状态、运动行为的半个周期即可.行波半个周期内的弧长l、行波半个周期图像的平均曲率K、行波半个周期内的能量E、加载速率v与ψ均为正相关性.则有ψ=zlKEv，其中z为比例系数.

根据平均曲率定义可知：

LwKw=2θ与luKu=2θ

(20)

在半个行波周期内注入的能量大小为：

(21)

与：

(22)

联立代入有：

(23)

(24)

在产生行波的脆性材料中若满足ψw=ψu，则两列行波w，u对于脆性材料的断裂作用效果是等同的.ψw=ψu从理论上定量的解释了脆性材料破碎的两种基本理念——强力低频破碎和弱力高频破碎之间的内在联系.

4 结论

试件的尺寸效应主要是因为其表面及内部的裂纹尺寸大小和裂纹密度的不均匀程度所造成，并随着试件尺寸的增加而愈加明显，使试件的强度明显低于其理论强度.在对产生驻波现象的脆性材料进行力学理论分析的基础上，将所得结论推广到更具普遍意义的行波上去，得到了定量描述脆性材料断裂难易程度的物理量ψ，脆性材料只要满足ψw=ψu则两列行波w，u对于脆性材料断裂的作用效果是等同的.ψw=ψu从理论上定量地解释了脆性材料破碎的两种基本理念——强力低频破碎和弱力高频破碎的内在联系.进一步补充了Griffith理论.

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【责任编辑：蒋亚儒】

Effectofmechanicalwavesonfractureofbrittlematerials

LIU Jian-ke1， ZHANG Cheng1， WANG Teng2， ZHU Wan-lin2

(1.School of Arts and Sciences, Shaanxi University of Science & Technology, Xi′an 710021, China; 2.School of Materials Science & Engineering, Shaanxi University of Science & Technology, Xi′an 710021, China)

2017-08-17

国家自然科学基金项目(51272145，111405100)

刘建科(1966-)，男，陕西西安人，教授，博士，研究方向：材料断裂力学

2096-398X(2017)05-0189-05

O346.1+1

A