杨振杰 赵康年

（青海大学地质工程系， 青海 西宁 810016）

基于最小二乘的工业测量圆孔部件拟合研究

杨振杰 赵康年通讯作者

（青海大学地质工程系， 青海 西宁 810016）

在工业测量中，圆孔是一种重要的几何特征。通常，我们可以匹配重建出圆孔的边缘点云，但是这样的点云往往不规则，需要精确的拟合。本文探讨了圆形几何体基于最小二乘的代数拟合方法，并对获取来的标准几何体的测量数据进行了处理分析，并得出拟合精度。实验结果表明，最小二乘方法拟合精度满足一定的测量需求。

工业测量；圆孔；最小二乘；代数拟合

在不同测量条件下（如对象，表面材料，测量范围和环境）几秒之内得到的密集的3D点云，它主要是由简单的几何元素，如平面、球面、圆，锥和环面。在科学和技术不断发展下，人们对3D测量技术和三维数据迅速处理的需求也在增加[1]。与三维测量技术的进展相比，三维数据处理在软件工具方面几乎停滞不前[2]。

几何元素的拟合方法有最小区域法、最小二乘法和与具体元素相关的其他方法，比如圆的拟合有最小外接圆法、最大内切圆法等[3]。其中，最小二乘法由于其理论相对比较成熟，工程应用简单易行，因此最小二乘法具有一定的可行性。最常见的是代数拟合方法，用含代数参数的隐式多项式方程来表示曲线或曲面，如果测量点不在拟合模型上，就存在拟合误差，我们把它叫做代数距离[4]。简单直接的方法是确定使每个点的代数距离的平方和最小的代数参数。在生产制造过程中，经过加工的零件，不仅会产生尺寸误差，而且会产生形位误差，这些误差的存在对零件的性能及装配质量会产生重要的影响，因此必须将其控制在一定的范围内[5]。

本文结合工业测量实践中的圆形部件，构建其参数模型，进行最小二乘的拟合处理研究，最后通过获取来的实验数据对这些方法进行对比得出结论。

1 最小二乘拟合原理

设空间内有一个曲线工件，为求取其变形量，对该工件上的点进行一系列观测，得到n个点的坐标(xi，yi，zi)，由于该工件存在变形，不考虑观测误差，每个观测点的变形量即该点观测值与设计值的直线距离[6]。

图2.1 最小二乘拟合法

以vi表示各观测点至设计值之间的距离改正数，可以采用多种方法来较合理的确定，测绘工作中常采用的方法，也就是使每个观测点到曲线距离的平方和为最小。

观测过程中每个点的中误差都存在一定的差别，合理的方法是定义权

式（1）中σ0是与观测值无关的常数项，称为先验单位权中误差，mi为i点的中误差，中误差与权值成反比。

按式（2）确定出的曲线被认为是最合理的。写成矩阵形式

2 圆形几何体测量数据拟合方法

由解析几何知道，两点确定一条直线，不在一条直线上的三点确定一个平面或圆。当测量的特征点多于必要被测要素拟合点数时，采用最小二乘进行数据处理，确定被测要素。其原理是：假定有一理想要素使得被测要素的各点到该理想要素的平方和为最小，那么该理想要素的特征参数即为所要求的被测要素的特征参数。下面介绍标准圆形几何体的代数拟合方法。

设空间圆的圆心坐标为(x0，y0，z0)，半径为R，那么空间圆的方程为

与平面拟合类似，将式（3）的第二式化为：

线性化后的误差方程为：

式中，

最后拟合求出参数（ dxo， dyo， dzo， dR，da，db）。

空间圆的参数为：

几何要素拟合的流程主要分以下几步:

1）选取拟合点：在点坐标库中选取要拟合的测量点，选点要具有代表性，粗差点首先要予以剔除；

3）列误差方程：根据选取点的个数，按间接法平差的最小二乘法则列出误差方程；

4）求解法方程；

5）精度评定，拟合过程用来确定系数的最佳取值，以使该直线到给定的点的误差在均方根意义下达到最小。按照式（8）求取均方根：

3 标准几何体数据获取与处理分析

圆数据获取：借助相机及工业测量软件对圆形孔匹配处理，提取并计算圆上点的三维坐标，如图1所示。共得到圆上的162个三维离散点，用P0-P161表示，每个点位的代数拟合结果展示在表1中（文中只展示部分点），并用图3绘制显示。最后将空间拟合结果展示在三维软件中，如图2所示

图1 圆孔获取

图2圆拟合空间展示

表1 圆数据的拟合结果

图3 点到拟合圆的距离图

有上述处理结果可以看出，针对工业测量中的圆孔工业部件而言，最小二乘拟合的均方根误差可以达到0.14mm，达到基本的工业测量需求。

4 总结

论文主要围绕基于最小二乘拟合的代数拟合方法和原理，结合工业测量具体圆形孔的部件进行了研究分析，取得了较为理想的拟合结果。通常根据测量的一系列坐标点，选取一定的数学模型，进而寻取曲线特征，求解曲线的相关参数，为工程建设管理提供必要的基础信息。但是在 GIS数据获取中，通常根据一系列的实际测量点或者是地图数字化点拟合道路、水系、等高线等曲线[7]。所以在曲线曲面拟合、由标准几何体构成的非标准物体的拟合算法还有待研究，如抛物线、双曲线、圆柱面、抛物面的拟合处理研究。

[1] 厉东伟．工业测量系统在国内外的发展现状．科技信息．2011，22（08）：130-132

[2] Sung Joon Ahn．Last Squares Orthogonal Distance Fitting of Curves and Surfaces in Spare．Springer Berlin Heidelberg New York：Springer，2004，9-34

[3] 杜福洲，王小强，段桂江．基于最小二乘的几何元素拟合算法研究．航空制造技 术．2011，15（21）：65-68

[4] 王解先，季凯敏．工业测量拟合．北京：测绘出版社．2008，36-78

[5] 孙佳龙．工业测量数据处理及三维可视化系统的研究与开发[硕士学位论文]．山东科技大学，2006

[6] 周兴林．大尺寸截面几何形状视觉测量系统的研究[博士学位论文]．天津大学，2007

[7] 蔡强．工业测量拟合与设备几何要素分析技术的研究[硕士学位论文]．山东科技大学，2011．

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1007-6344（2017）10-0257-02