一类广义代数Riccati方程的数值求解算法

2017-10-13周立平

湖南科技学院学报 2017年6期

关键词：方法

周立平

一类广义代数Riccati方程的数值求解算法

周立平

（湖南科技学院理学院，湖南永州 425199）

广义代数Riccati方程的数值方法在非稳定系统模型降阶，滤波和动力系统控制中有十分重要的作用。本文基于牛顿迭代法设计了一种求解代数Riccati方程的预条件共轭算法，数值实验验证了该方法具有良好的收敛性。

代数Riccati方程；牛顿迭代法；预条件共轭梯度法

1　引　言

本文旨在研究如下一类广义代数 Riccati 方程(ARE)的数值解：

ARE(1.1)的求解在非稳定系统模型降阶，滤波，线性二次校正问题和动力系统控制中有十分重要的作用。ARE（1.1）是二次矩阵方程，且是非线性的，在一定条件下，ARE(1.1)具有唯一的半正定解[1]。

目前，对ARE进行数值求解大多是在Newton迭代法框架下进行。如Chandrasekhar迭代法[3,4]和NM-Kleinman 迭代法[5,6]等，它们的主要思想是将二次方程线性化后再求解. 为给出Peter Benner等人在文[7]中给出了低秩Newton Cholesky因子法(LRCF-NM)和低秩Newton Galekin-ADI 方法(LRCF-NM-GP-ADI)。PFADI

基于Newton迭代法框架求解ARE(1.1)，通常会导出一系列Lyapunov方程。因此，针对这些Lyapunov方程的高效稳定算法成为求解ARE（1.1）的关键。目前，已有一系列研究成果[8,9]。最近，Lin与V.Simoncini在文[10]中提出了基于最小残差法（MINRES）求解大规模Lyapunov 方程的方法。受此启发，本文将在Newton迭代法框架下，结合MINRES方法和预条件共轭最小二乘法(PCGLS)求解Lyapunov方程，进而得到ARE（1.1）的数值解。