徐会作， 钱伟茂

(1.温州广播电视大学 经管学院， 浙江 温州 325000； 2.湖州广播电视大学 远程教育学院， 浙江 湖州 313000)

Toader-Qi平均与其他二元平均的几个确界

徐会作1， 钱伟茂2

(1.温州广播电视大学 经管学院， 浙江 温州 325000； 2.湖州广播电视大学 远程教育学院， 浙江 湖州 313000)

研究了Toader-Qi平均TQ(a,b)关于几何平均G(a,b)、对数平均L(a,b)、算术平均A(a,b)和二次平均Q(a,b)若干特殊组合的序关系．运用实分析方法以及第1类Bessel函数的乘积公式，建立若干重要引理，导出了4个关于Toader-Qi平均TQ(a,b)的精确不等式，并获得了特殊情形的结果.

Toader-Qi平均;几何平均;对数平均;算术平均;二次平均.

0 引 言

设a,b>0和a≠b,则几何平均G(a,b)、指数平均I(a,b)、对数平均L(a,b)、算术平均A(a,b)、 二次平均Q(a,b)和Toader-Qi平均TQ(a,b)[1-3]分别为

(1)

(2)

近年来,关于若干经典平均与Toader-Qi平均的比较受到了关注,得到了一定的研究,有关Toader-Qi平均的重要不等式可参阅文献[2-7].QI等[2]证明了

(3)

和不等式

对所有a,b>0和a≠b成立, 并且

(4)

是第1类改进Bessel函数[8].

YANG等[4]证明了

对所有a>b>0成立, 并且

Lα2(a,b)A1-α2(a,b)

β2L(a,b)+(1-β2)A(a,b)

由文献[6],推得精确不等式

TQ(a,b)>L3/2(a,b)

设a>b>0，t=(loga-logb)/2>0,则由式(1)可推得

(5)

由式(2)和(3)可推得

(6)

本文的主要目的是给出以下几个关于Toader-Qi平均与几何平均G(a,b)、对数平均L(a,b)、算术平均A(a,b)和二次平均Q(a,b)特殊组合的精确不等式:

对所有a,b>0和a≠b成立.

1 预备知识和引理

为了证明主要结果, 本节给出一些经典Gamma函数、第1类Bessel函数的基本知识和相关引理.

Γ(n+1)=nΓ(n)=n!,

对所有正整数n成立.

设v>-1,第1类修正Bessel函数Iv(t)定义(见文献[10],p77)为

(7)

注意到在特殊情形下有：

(8)

(9)

引理2(见文献[3],引理2.8) 设I0(t)定义为式(4).则等式

对所有t∈R成立.

引理3等式

(A)

与

(B)

对所有t∈R成立.

证明(A)由式(8)和Cauchy乘积公式(见文献[12],(3.5))

对所有t∈R,有

(B) 由式(9)和Cauchy……