康素玲　刘娟

【教学难点】

难点：平面向量与共线向量的概念，向量几何表示的生成过程.

【应对策略】

（1）创设情境，先使学生由感受现实中既有大小，又有方向的量，然后逐渐增加信息，以便达到理性认识所必备的信息量；

（2）学生模仿抽象数量概念的过程，从同一类事物中归纳出向量的概念；

（3）通过将向量与数量进行比较，以便深层次地理解向量概念；

（4）让学生将已学习过的直线（段）平行和共线与共线向量这一新知之间建立起联系，灌输类比思考的思想；

（5）类比数的表示方法引出向量几何表示方法，由具体向量的有向线段表示进而推广到一般向量几何表示。

这一堂课的教学中，首先以问题指引过程，然后教师指导、学生提问、师生间交流，让学生主动构建向量与共线向量的概念。目的是使学生体验新概念由来的全过程，深刻理解新、旧知识间联系。

1 创设情境 建构概念

例2 教师节到了，来自小梦的一条微信祝福这样写道：“谢老师您好，教师节快乐！我在离铜陵市直线距离约400千米的某个城市读大学，您猜猜我现在在哪个城市？”

[设计目的] 设置学生熟识的情境，指导学生独立思考.让学生明白只有大小却没有方向，并不能给出具体的位置，说明位移是一个既有大小，又有方向的量。

[教学片段]

师：借助高德地图，老师定位地图上杭州、南京、九江等城市离合肥400千米。你能不能确定是哪所城市呢？

生：不能。

师：为什么不能确定呢？

生：因为不知道具体方向。

师：这么说位移不仅要求有大小，而且有方向。

【问题1】请同学们再试着列举出一些既有大小，又有方向的量？

[设计目的]激发学生的已有的经验.通过询问有没有只有大小，沒有方向的量的问题，通过对比，显示向量的两个要素。

[教学片段]

生：重力、浮力、弹力……

师：请同学们说说哪些量是仅仅有大小却没有方向的量？

生：年龄、身高、面积、体积等。

师：我们一起温习数的概念，我们能够从一个文具盒、一把小刀、一支钢。

笔……中抽象出仅有大小的数量“1”。同样地，我们也能够对力、位移、速度……这些既有大小，又有方向的量形成一种新的量。

师：我们把既有大小，又有方向的量称为向量，把那些仅有大小，没有方向的量叫做标量[1]。

[设计目的]这节课在“平面向量”这一章中起到“统领全局”的作用.它解答了平面向量这章“是什么”、“为什么”、“学什么”、“怎么学”的问题，点明学生的学习任务、向量的研究对象和方法。

2 几何表示 理解概念

【问题 2】实数在数轴上是如何表示的？

[设计目的]与实数的点表示进行类比，寻找向量几何表示方法。

[教学片段]

生：可以用数轴上的点表示.

师：我们知道实数通常能够用数轴上某一点来表示，并且不同的点所表示实数是不同的。现在请同学们在数轴上画出表示实数0，1的点和任一实数a的点。

生：先画出数轴，再标注点的位置（如图1）。

图1 实数在数轴上表示

师：实数a是一个数量，我们用数轴上的点A来表示，这里实际上就是用几何图形来表示了实数a，既然数量可以这样表示，那么我们是否也可以找到一种几何图形来表示平面向量呢？

[师生互动]两回顾、一探究：大家回顾浮力如何表示及实数中绝对值符号的具体使用情况，研究向量的几何表示、字母表示，向量的模的字母表示。

[设计目的]浮力通常用“带箭头的线段”表示，这是已学知识，将该内容进行条理化、系统化，是为了强化新知，让旧知生长出新知.在实数的两边画两条平行且等长的竖线段表示“表示实数的点到原点的距离”，把这种符号表示类比到向量的模的字母表示，这样学生容易接受。

3 探究实例2引出关系

【探究互动】

在坐标纸上画出如图 所表示的向量.

（1）图中哪些向量是单位向量？

（2） ， ， 三个向量的方向有何关系？

（3） ， 在大小和方向有何关系？

图2 向量

[设计目的]巩固单位向量的概念；上面探究将平行向量、相等向量和共线向量的概念形成过程联系起来。

[教学片段]

师：坐标纸中哪些向量是单位向量？

生： ， ， ，

师：为什么它们是单位向量？

生：因为它们的模都等于1个单位。

师：单位向量和它们的方向有关系吗？

生：没有。

师：坐标纸中哪些向量不是单位向量？

生：

师：我们从向量大小的角度寻找到了单位向量.大家已经知道向量不仅有大小，还有方向.请大家想想 ， ， 这三个向量的方向什么关系？

生： 与 方向相同， 与 方向相反， 与 方向相反。

师： ， ， 中有零向量吗？

生：没有。

师： ， ， 所在的线段之间的位置关系是什么？

生：平行。

师：我们把方向相同或相反的非零向量称为平行向量[2]， // 记作。

师：大家想不想知道零向量的方向？

生：想。

师：我们规定任一向量跟零向量平行，是指？坌 ， // 有。

师： ， 在大小和方向上有何关系？

生：长度相等，方向相同。endprint

师：也表示 、 的两个基本要素是完全一样的。数学上，长度相等且方向相同的向量叫相等向量[3]，记为 = 。

图3 向量

师：如图3， 与 之间什么关系？那 与 之间什么关系？

生：都是相等的。

师：“相等”说明能用同一条有向线段 来表示两个相等的非零向量 和 ，注意与有向线段的起点无关。即能够将非零向量 和 在平面内平移到 的位置且平移后向量与原向量重合。类似地，我们同样能够作 ， 相等。此时，我们将一组平行的向量 ， ， 都平移到了同一条直线上。（注意：平行向量也称作共线向量）。

【独立探究】探讨有向线段与向量的差别和联系？

[设计意图] 学生之间互助学习，感受向量能够在平面内随意平移且与有向线段的起点无关.

[教学片段]

生：我们组讨论的结果是有向线段的三要素：起点、长度与方向，而向量是由自己的方向与模决定，跟起点无关[4]。

【小结】我来请一位学生回答本节课总共学习了哪些新的概念。

图4 平面向量概念图

[设计目的] 先让同学们总结本节课所学的内容概要，然后老师进行提炼补充，最后总结学习新概念的一般思路如图5：

图5 小结流程图

本节介绍本堂课需要学习的内容、意图及学习任务.本节课概念很多，内在联系相当严密，概念的获得过程要与同学们的认知规律相符.在本节课的教学中，应该着重掌握从“特殊”到“一般”的思想和“类比”思想的应用.在向量概念教学时，老师可以指导同学举出相仿的实例，归纳相同特点，从而得到向量概念. 在讨论向量的几何表示、字母表示、定义零向量与单位向量、研究向量之间关系时，引导学生将已具备的经验（如实数与力的几何表示、线段的字母表示、 和 的特殊性、线段平行和共线等）类比到向量的几何表示、字母表示、零向量和单位向量的特殊性、平行向量和共线向量等概念中.这种类比可以让学生自主、高效地认知向量的相关概念，同时也替教师和学生共同探讨新概念的形成过程提供了明显的思路.课后，教师需要引导学生从中感悟一个数学新概念的基本思路：从同类事物中抽象出本质特征.在课堂教学中，应充分调动学生积极性，引导学生自发进行举例、互评、探究等活动。

【参考文献】

[1]刘德，林旭.学习高手数学4必修配新课标人教A版[M].光明日报出版社，2006.

[2]李秀兰.向量概念规律探究[J].中学生数理化：高一版，2011，（5）：3-3.

[3]舒美爱，徐莉.数学第二册[M].立信会计出版社，2011.

[4]何新江.向量的不合常理性質的研究[J].中学数学研究，2005，（9）：21-23.

[责任编辑：张涛]endprint