刘 春 晗

(齐鲁师范学院数学学院，山东 济南 250013)

含临界参数和临界指数的双调和方程多重解

刘 春 晗

(齐鲁师范学院数学学院，山东 济南 250013)

利用对称形式的山路引理，讨论了一类含临界参数和临界指数的奇异双调和方程，获得了方程的无穷多个非平凡解.

双调和方程；对称形式的山路引理；临界指数；非平凡解

1 预备知识

1983年，Brezis-Nirenberg给出了求解含临界指数方程的方法，吸引了国内外众多学者对含临界指数的非线性方程进行研究.文献[1]研究了双调和方程

文献[2]讨论了方程

本文利用对称形式的山路引理，研究了奇异双调和方程

(1)

首先在空间H中讨论以下特征值问题非平凡解的存在性：

(2)

第一特征值定义为

第二特征值定义为

类似地，可以定义第n个特征值为

其相应的特征函数记作φn，μ.

问题(1)的弱解就是泛函

对于任意的φ∈H，

下面给出一些假设条件：

(Ⅴ)f(x，-t)=-f(x，t).

定义1[3]设Φ∈C1(E，R)，称Φ关于每一个c∈R满足(PS)c条件，如果n→∞时，满足

Φ(un)→c，Φ′(un)→0

的任意数列un均有收敛子列；称Φ满足(PS)条件，如果Φ关于任意c∈R满足(PS)c条件.

定义2[3]设Φ∈C1(E，R)，称Φ关于每个c∈R满足(C)c条件，若当n→∞时，任意满足

Φ(un)→c，(1+‖un‖)Φ′(un)→0

的数列un都有收敛子列；称Φ满足(C)条件，如果Φ对于任意c∈R满足(C)c条件.

引理1[2](Sobolev-Hardy不等式) 设0≤s≤4，2≤q≤2*(s).则存在常数c1>0使得

并且空间H嵌入到Lq(Ω)是紧的.

(3)

类似于文献[4]中引理3—4，可证下面两个引理成立.

引理2 特征值问题(2)有一个非平凡解φ1，μ.

引理3 当n→∞时，λn，μ→+∞.

引理5[3](对称形式的山路引理) 假设Φ∈C1(E，R)，Φ(θ)=0.则：

如果Φ满足(PS)条件，则Φ有无限多个对应正临界值的临界点.

注1 若Φ满足(C)条件，则引理5的结论也成立.

2 主要结果

定理1 如果f……