王婷 张丽娟 达佳丽

【摘要】本文运用了增算子的不动点理论，研究了分数阶微分方程三点边值问题在共振条件下正解的存在性。

【关键词】分数阶微分方程 共振 增算子的不动点定理 正解

【基金项目】甘肃省高等学校科研项目，编号（2015B-203）。

【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）32-0133-02

1.引言

分数阶微分方程描述了许多领域的现象，而现在有许多方法来解决分数阶微分方程的可解性，关于共振条件下分数阶微分方程边值问题的可解性的研究也比较多。

目前对于分数阶微分方程共振问题的研究工作比较少。Wang Feng在文献[1]中运用了增算子的不动点理论研究了常微分方程边值问题。

（p（t）u（t）′）′=f（t，u（t））

u′（0）=0，u（1）=u（？浊i）

在共振条件 ai=1下正解的存在性。

本文运用文献[1]中的方法对分数阶微分方程

Du（t）=f（t，u（t），Du（t），…，Du（t））+e（t），t∈（0，1）

Iu（0）=Du（0）=Du（0）=0，u（1）=？啄u（？浊） （1）

在共振条件？啄？浊=1下解得存在性。

2.预备知识

下面我们简单地介绍一些记号和一些需要用到的工具定理。

记X、Y是Banach空间，K是X的锥，K∩domL≠？覫.

考虑方程 Lx=Nx （2）

其中L：dom（L）？奂X→Y线性算子，N是非线性算子。如果dimKerL=codimlml（L）<+∞且lm（L）在Y中是紧的，则L是Fredholm算子，同时存在连续的投影算子P：X→X和Q：Y→Y，使得lm（P）=Ker（L），Ker（Q）=lm（L），从而X=Ker（L）？茌Ker（P），Y=lm（L）？茌lm（Q）.由以上可以知道L|dom（L）∩Ker（p）：dom（L）∩Ker（P）→lm（L）是可逆的。现在定义它的逆算子为Kp：lm（L）→dom（L）∩Ker（P），如果QN（？赘）是紧的并且Kp（l-Q）（？赘）是紧的，则N在？赘是L-紧的。

记H=L+J-1P，从而H：dom（L）？奂X→Y是一个线性的双射，并且存在有界逆满足。

（JQ+Kp（I-Q））（L+J-1P）=（L+J-1P）（（JQ+Kp（I-Q））=I

引理2.1[1]令L|dom（L）∩Ker（p）=Lp，如果N在？赘是L-紧的，并且J是从投影算子P到Q的线性同构，则Nx+J-1Px=H，这里=（P+JQN）x+Lp-1（I-Q）Nx=0+1，并且是唯一的。

引理2.1在文献[1]中有具体的证明。我们由文献[1]知道K1=H（K∩dom（L））是Y上的锥，并且以下两条等价：

（1）P+JQN+Kp（I-Q）N：K∩dom（L）→K∩dom（L）；

（2）N+J-1P：K∩dom（L）→K1.

性质2.1 F是一个列紧集当且仅当F一致有界并且等度连续。

定义2.1 令u0，v0∈K∩dom（L）是方程（2）的下解和上解，即Lu0≤Nu0，Lv0≥Nv0

定理2.1 令L：dom（L）？奂X→Y是一个零指标的Fredholm算子。K是X上的正规锥。u0，v0∈K∩dom（L），u0≤v0和N：[uo，vo]→Y是连续的并L-紧的，且满足 （c1）uo，vo 是方程（2）的下解和上解； （c2）：N+J-1P：K∩dom（L）→K1是增算子，从而方程（2）在[u0，v0]上有一个最小的不动点u？鄢和最大的不动点v？鄢；并且u？鄢=un，v？鄢=vn，其中：

un=（L+J-1P）-1（N+J-1P）un-1，vn=（L+J-1P）-1（N+J-1P）vn-1，n=1，2，3…

以及 u0≤u1≤u2≤…≤un≤vn≤…≤v2≤v1≤v0.

3.主要結果

由定理2.1可以证明问题（1）在共振条件下正解的存在性。

令X=C[0，1]∩In-a0+u（0）=Du（0）=…=Du（0）=0，u（1）=？啄u（？浊），Du（0）≥0}，Y=C[0，1].

对于任意的x∈X，y∈Y定义它们的范数分别为

‖x‖X=maxt∈[0.1]x（t），‖y‖Y=maxt∈[0.1]y（t）

可以证明X和Y都是Banach空间。

令K={x∈X：x（t）≥0，t∈[0，1]}因为 X上的范数是单调的， 所以由文献[2]中的定理1.1.1可知K是X上的正规锥。

定义L：dom（L）→Y，Lu（t）=Du（t），其中dom（L）=X∩C[0，1].这里C[0，1]是一个Banach空间。

定义N：K→Y.Nu（t）=f（t，u（t），Du（t），…Du（t）

则边值问题（1）可以转化为Lu=Nu，u∈K∩dom（L）.

引理3.1 如果L是如上定义的线性算子，则有：

Ker（L）={u∈X：u（t）=cta-1，c∈R}，

lm（L）={y∈Y：（l-s）a-2y（？子）d？子ds=0}.

以上引理的证明详情见[2]， 并且有dimKerL=codimlmL=1成立， 显然L是一个零指标的Fredholm算子。

注：由边界条件和共振条件知道， 线性算子Lu（t）=Du（t）是不可逆的，所以分数阶微分方程三点边值问题（1）是一个共振问题。

定义投影算子P、Q分别为

P：X→X，Pu=Du（0）t，Q：X→X，Qy=г0（1-s）y（？子）d？子ds，（3）

其中г0=>0.

进一步，定义线性同构为J：lm（Q）→lm（P）为. J（c）=cta-1，c∈R

定义L|dom（L）∩Ker（p）：dom（L）∩Ker（P）→lm（L）的逆算子Kp：lm（L）→dom（L）∩Ker（P）为

Kpy=ly（t）=（t-s）y（s）ds （4）

因此对于y∈lm（L）有（LKpy）=Dly=y.

对于u ∈dom（L）∩Ker（P），有

（KpL）u（t）=Dlu（t）=u（t）+c1ta-1+c2ta-2+…+cnta-n，c1，c2，…cn∈R.

考虑到u∈dom（L）∩Ker（P），Du（0）=0和边界条件，可以得到 c1=c2=…=cn=0，从而（KpL）u（t）=u（t），即Kp=（Ldom（L）∩Ker（P））-1.

由性质2.1得到以下引理.

引理3.2 Kp（l-Q）Nu：dom（L）→dom（L）是全连续映射。

定理3.1 假设下列条件成立

（H1）存在u0（t），v0（t）∈K∩dom（L），使得u0（t）≤v0（t），且

Du0（t）≤f（t，u0（t），Duo（t），…Du0（t）），t∈[0，1]，

Dv0（t）≤f（t，v0（t），Dv0（t），…Dv0（t）），t∈[0，1]，

（H2）对于任意的x，y∈K∩dom（L）

f（t，x（t），Dx（t），…Dx（t））-f（t，y（t），Dy（t），…Dy（t））≥-（Dx（0）-Dy（0））

则问题（1）在[u0，v0]上有一个最小的不动点u？鄢和最大的不动点v？鄢.定义{un（t）2}为un（t）=（гota-1-）（1-s）a-1

[f（t，un-1（？子），Dun-1（？子），…Dun-1（？子）+Dun-1（0）]d？子ds+（t-s）a-1f（t，un-1（？子），Dun-1（？子），…Dun-1（？子））ds.

同理可定义vn（t），其中t∈[0，1]，n=1，2，3，…，则{un（t）}和{vn（t）}在[0，1]一致收敛于u？鄢（t），v？鄢（t），并且u0≤u1≤u2≤…≤vn≤…≤v2≤v1≤v0.

证明 由条件（H1），得到Lu0≤Nu0，Lv0≥Nv0所以定理2.2中的条件（c1）满足。

由引理3.2知在K∩dom（L）的任意有界开集？赘上N是L-紧的。

对每个x∈K∩dom（L），可以得到：

P+JQN+Kp（I-Q）Nu=Du（0）ta-1+（1-s）a-2f（t，u（？子），Du（？子），…Du（？子））d？子ds+（t-s）a-1[f（s，u（s），Du（s），…Du（s））-г0（1-s）a-2f （？子，u（？子），Du（？子）…Du（？子））d？子ds]ds≥0.

從而p+JQN+kP（I-Q）（K）？奂K，由预备定理中的等价条件知N+J-1P：K∩dom（L）→K1

由条件（H2），不难证明N+J-1P：K∩dom（L）.→K1是单调递增的算子，所以定理2.2中的条件（C2）也满足。且（L+J-1P）-1（N+J-1P）un-1（t）=un（t）.定理2.2中的条件都满足，得证。

参考文献：

[1]Bai Z.B.，On positive splutions of a nonlocal fractional boundary value problem.Nonlinear Anal.TMA 72，916-924（2010）.

[2]Han X L；Wang T.：The existence of nonnegative solution for a nonlinear fractional muti-point boundary value problem at resonance.Int.J.D