江苏省如东县岔河中学 吴 建

解析构造法在高中数学解题中的使用研究

江苏省如东县岔河中学 吴 建

在数学学习中，恰当的方法选取显得极为重要。教师在教学时使用不同的解题方法以帮助学生理清解题思路，寻求更多、更好的切入点。其中，构造法的应用较为广泛，其主要通过题目所给条件或已有结论，通过将“未知量”有效转化成为“已知量”促使学生形成精准的解题思想，真正加快解题速度。

一、构造方程

在高中数学的学习中，方程是最为常见的内容，在利用构造法进行解题的过程中，方程构造法的出现也是十分频繁，相信学生对于这一块的内容都不会感到陌生。教师可建议学生基于题型内若干数量关系、结构特质，通过假设确立一种等量性公式，利用恒等式的灵活变形，对那些未知量之间所蕴含的联系进行详细的分析，然后根据方程的相关理论，可以使问题在新的关系下得以转换、获解，有效提高学生的解题效率。

例1 已知存在x、y、z三个实数，它们之间的关系表示为+y+z=5，xy+yz+zx=3，求z的最大值是多少？

分析：在解决这类问题的时候，老师首先要引导学生注意题目中出现的两数和与两数积的内容，通过这两个突破点，学生可以利用构造法来进行一元二次方程的构造，并且借助Δ≥0的数学性质来对求值和求最值的问题进行解决。

解：由题中的条件可推知5-z=x+y，并且xy=3-z(x+y)=3-z(5-)=z2-5z+3，

这时可以确定x、y是关于t的一元二次方程：t2-(5-z)t+z2-z+3=0的两个实根，

根据Δ≥0的数学性质，可以推出Δ=(5-z)2-4(z2-5z+3）≥0，

求解方程，可以推出(3z-13)(z+1)≤0，

解后反思：针对构造方程的内容，这里需要强调的一点就是在解题的过程中，一定不能盲目构造。方程的适用性尽管广泛，对于求值和求最值都有着十分重要的突破，但在构造前需尽快进入主题，以使复杂的问题变简单，学生在对此类题目的解答中，观察、思维能力都会有所提高。

二、构造函数

函数是当前高中数学学习中的重要知识组成，因其重点和难点的地位，实现这部分内容学习的突破能够确保学生学业成绩处于较好的水平。函数构造法则可在引导学生具备正确解题思想、解题能力方面发挥更大的效应。

解后反思：不等式的证明被合理转化成使用导数来研究函数单调性或者求出最值问题，其实就是借助构造函数中的构造辅助函数来完成的，据此验证各种关系式。构造这一可导函数成为使用导数来对不等式加以证明的关键所在。解题过程中可紧扣不等式的结构特征、变通构造法，以满足不同类型的解题需求。

三、构造复数

与实数对比，复数可以理解为新的拓展与延伸。学生在解题目时，倘若遇到极为棘手的实数问题，可以换个思路，将其转化为复数方面的问题，看似数的结构被复杂化，但是这样也可以使原本麻烦的问题简明化，利用构造复数的方法，可以开拓学生的解题思路，帮助他们更加全面地认识数的相关概念。

解：设Z1=x+2i，Z2=(-x+1)+3i，经过推导可知Z1+Z2=1+5i，

解后反思：关于复数的性质方面有代数、三角形、几何等若干种表达的方法，可以在解题时利用好这些内容，可以从新视角出发，将原本复杂的解题过程变得简单化，可以巧妙地对代数、三角、几何等内容进行联系，拓宽学生的解题思路，提高学生的解题效率。当然，在应用中，学生也要大胆地进行创新，不要被传统的思维模式所限定，利用复数本身的特点，展开全面的多样的解题手段。

四、构造向量

向量是一种强大的数学工具，在高中数学解题中有着广泛的应用。特别是针对不等式的结构内容，譬如xx’+yy’的形式，可以采用向量的数量积的坐标方法来进行表示，并通过对原来的不等式进行适当变形从而找到便于证明不等式的更好的解题思路和方法。

分析：在进行解答之前，我们首先要对这道题的结构内容进行详细的分析。不等式左边的内容是和的形式，右边的内容则是常数的形式，根据向量的定理可知，左边的内容稍加变形，就可以表示出两个向量的坐标，紧接着对两个向量的模进行计算，结合数量积和模之间的关系，就可以构造出一个不等式，进而来证明结论成立。

解后反思：在这道例题中，通过构造二维向量，并且巧妙利用向量数量积的定义和性质内容来进行最大值的求解，在很大程度上减轻了求最大值的难度，所以在高中数学的解题中遇到求最值的问题时，要根据题干内容合理地构造向量，体现其解决问题的便捷性，锻炼自身的数理思维。

在高中学习阶段，课程内容繁多，学生也不得不面对升学的压力，高中阶段的数学内容，更强调学生用成熟的解题思维来应对，所以在实际的学习中，有些同学不免会出现消极的学习情况。针对这样的问题，老师不要过于指责学生本身的问题，应该结合实际的教学内容，利用“构造法”帮助学生深入了解相关的数理概念，寻觅到学习的诀窍，既能使得学生的解题速度和正确率得到优化，更可让学生具备数学学习的充足信心和动力，为将来的发展打下良好的基础。