饶 峰， 柯 枫

(1.湖北商贸学院 基础课部， 湖北 武汉 430079; 2.湖北大学 数学与统计学院， 湖北 武汉 430062)

拓扑Hausdorff维数的一种计算方法及其应用

饶 峰1，2， 柯 枫2

(1.湖北商贸学院 基础课部， 湖北 武汉 430079; 2.湖北大学 数学与统计学院， 湖北 武汉 430062)

介绍平面上集合的拓扑Hausdorff维数的一种计算方法，此方法是根据集合的几何特征构造它的一个基，利用基的边界的Hausdorff维数获得该集合的拓扑Hausdorff维数.利用此方法计算了一类分形方块的拓扑Hausdorff维数.

Hausdorff维数; 拓扑维数; 拓扑Hausdorff维数; 分形方块

1 预备知识

在本文中，度量空间X的Hausdorff维数[1]记为dimHX，拓扑维数[2]记为dimtX.dimH∅=dimt∅=-1.拓扑Hausdorff维数是最近由R.Balka等[3]提出来的一种新的维数，它是结合Hausdorff维数与拓扑维数的概念产生的,具有一些好的性质，在分形研究中日益受到关注.

定义 1.1[3]令dimtH∅=-1.非空度量空间X的拓扑Hausdorff维数为dimtHX=inf{d:X有一个基U使得对任意的U∈U都有dimH∂U≤d-1}，其中∂U表示集合U的边界.

从定义不难看出一个非空空间的拓扑Hausdorff维数是0或至少为1.拓扑Hausdorff维数具有单调性;对闭集具有可数稳定性;是双Lipschitz不变量[3].下面的2条性质将在本文中用到.

性质 1.2[3]对任意的度量空间X，有dimtX≤dimtHX≤dimHX.

由此性质可知一个有限集或可数集的拓扑Hausdorff维数为0.

性质 1.3[3]X是一个非空可分度量空间，那么dimtH(X×[0，1])=dimH(X×[0，1])=dimHX+1.

拓扑Hausdorff维数不是由拓扑维数及Hausdorff维数决定的，即存在2个紧度量空间X和Y，虽然dimtX=dimtY，dimHX=dimHY，但dimtHX≠dimHY[3]，因此计算集合的拓扑Hausdorff维数是有意义的.

2 基的构造

维数的计算一直是分形几何研究的热点.本节介绍一种拓扑Hausdorff维数的计算方法.此方法是根据集合的几何结构构造出它的一个拓扑基，确……