李海艳, 王 敏, 李利玫

( 1. 四川大学 锦城学院, 四川 成都 611731; 2. 成都工业学院 人事处, 四川 成都 611730;3. 四川师范大学 数学与软件科学学院, 四川 成都 610066)

脉冲微分方程m-点边值问题的多重正解

李海艳1, 王 敏2, 李利玫3

( 1. 四川大学 锦城学院, 四川 成都 611731; 2. 成都工业学院 人事处, 四川 成都 611730;3. 四川师范大学 数学与软件科学学院, 四川 成都 610066)

利用锥上的不动点指数定理研究一类脉冲微分方程的多点边值问题,获得了该问题多重正解的存在性新结果.

不动点指数定理; 脉冲微分方程;m-点边值问题; 全连续; 正解

带有脉冲的微分方程边值问题主要描述了一些现象在某一瞬时时刻的突变过程,在人口动态、物理学、生物学、工程学、神经网络等学科有着广泛的应用[1-3].微分方程作为一个重要的分支有着大量的研究成果[4-17],其中脉冲微分方程在数学方面有着更加丰富的内容[11-17].

文献[11]研究了多点边值问题

其中,J=[0,1],f∈C(J×R+,R+),Ik∈C(R+,R+),0<ξ1<ξ2<…<ξm-2<1,ai,bi∈(0,+∞),i=1,2,…,m-2,应用锥上的不动点定理获得了多个正解的存在性定理.

考察二阶脉冲微分方程的多点边值问题(BVP)

(1)

当φ=1,a=c=1,b=d=0时,边值问题将退化为文献[11]研究的方程.本文利用锥上的不动点指数定理研究了一类脉冲微分方程的多点边值问题,获得了该问题多重正解的存在性新结果.

1 预备知识及主要引理

‖x‖=max{‖x‖PC,‖x′‖PC}.

显然,PC[J,R]在‖·‖PC下构成一个Banach空间,PC1[J,R]在‖·‖下构成一个Banach空间.

1) 如果x∈∂Pr,有‖x‖≤‖Tx‖,则i(T,Pr,P)=0;

2) 如果x∈∂Pr,有‖x‖≥‖Tx‖,则i(T,Pr,P)=1.

本文假设：

(H1)f∈C(J×R+,R+),Ik∈C(R+,R+);

(H2) △≠0,ρ=ac+ad+bc,其中

定义 1.1x称为BVP(1)的一个解,若x∈PC[J,R+]∩C2(J′),x(t)>0,t∈J且x满足(1)式.

引理 1.2 假设(H1)和(H2)成立,那么,x∈PC1[J,R+]∩C2(J′)是BVP(1)的解,当且仅当x是脉冲积分方程(2)的解.

(2)

其中

证明 为了方便证明,先验证问题

(3)

的解满足的脉冲积分方程.

设x∈PC1[J,R+]∩C2(J′)是BVP(3)的解,……