李东方��

摘 要 引进了J—可逆环的概念，证明了与一些其它环的关系，得出结论若R是J—可逆环，e∈E（R），则eRe是J—可逆环，环的J—可逆性不是Morita不变性质。

关键词：可逆环；Jacabson根；J—可逆环

中图分类号：TB 文獻标识码：A doi：10.19311/j.cnki.16723198.2017.21.111

1 引言

交换理论是代数学的重要分支，其理论和方法在代数几何、代数数论等数学分支有着重要的应用，为了将交换环的性质推广到非交换环上，代数工作者对交换性进行推广。文[1]定义了可逆环，R称为可逆环，如果任意ab=0蕴含ba=0，显然，对称环是可逆环，文[2]定义了弱可逆环，R称为弱可逆的，如果任意a，b，r∈R蕴含Rbra（等价地，braR）是R的诣零理想.为了更好的研究环的交换性，本文引进了J—可逆环，如果对任意a，b∈R， ab=0蕴含bRaJ（R）； R称为中心可逆环，如果任意的ab∈R，ab=0，蕴含bRa∈Z（R）。

2 基本性质

设R是环，J（R）表示R的Jacabson根，Z（R）表示R的中心，N（R）表示R的幂零元的集合，R称为中心对称的，如果任意a，b，c∈R，abc=0蕴含bac∈Z（R）， R称为弱对称的，如果任意a，b，c∈R，ab=0蕴含bac∈N（R）。

定义1环R称为J—可逆环，如果对任意a，b∈R，ab=0蕴含bRaJ（R）； R称为中心可逆环，如果任意的ab∈R，ab=0，蕴含bRa∈Z（R）。

命题1

（1）对称环和可逆环是J—可逆的。

（2） R是可逆环当且仅当它是1一可逆环。

（3）弱对称环是J—可逆的。

（4）中心可逆环是J—可逆的。

证明：（1）与（2）是显然的，下证（3）与（4）成立。

（3）假设R是弱对称环，a，b∈R，满足ab=0，则任意r，t∈R有rabt=0，因为R是弱对称的，于是brat∈N（R），从而braR∈N（R），这说明。braR是R的诣零右理想，故bra∈J（R），由r的任意性知bRaJ（R），R是J—可逆环。

（4）假设R是中心可逆环，a，b∈R满足ab=0.则任意r∈R，bra∈Z（R）。

因为（bra）2=0， braR是R的幂零理想，所以bra∈J（R），R是J—可逆环。

命题2

（1） R是J—可逆环，当且仅当对任意a，b∈R，ab=0蕴含ba∈J（R）。

（2）局部环是J—可逆环。

（3）如果R/J是可逆环，则R是J—可逆环。

证明：（1）仅证充分性.假设a，b∈R，满足ab=0，于是任意r∈R有rab=0.据条件得bra∈J（R），因r是任意的，从而bRaJ（R）。

（2）

设R是局部环，则J（R）是由R的所有不可逆元组成的。任意a，b∈R，满足ab=0，则（ba）2=0，如果ba=0，则ba∈J（R）；如果ba≠0，则ba不是可逆元，从而ba∈J（R），所以，据（1）知R是J—可逆的。

（3）令=x+J（R），设a，b∈R，满足ab=0，则=0，R/J（R）是可逆环，从而=0，ba∈J（R），据（1）知R是J—可逆环。

环R称为拟正规的，如果任意e∈E（R）；eR（1-e）Re=0（这等价于（eae）（ebe）=eabe，a，b∈R）；R称为弱拟正规的，如果任意e∈E（R）， eR（1-eR）ReJ（R）。

引理1 设R是J—可逆环，Maxl（R）表示R极大左理想的集合。

（1） R是弱拟正规环，即任意e∈E（R），eR（1-e）ReJ（R）。

（2）设e∈E（R），若ReR=R，则e=1。

（3）任意e∈E（R）， M∈Maxl（R），有e∈M或1-e∈M。

证明：（1）设e∈E（R），因为（1-e）e=0，R是CJ—可逆环，故eR（1-e）J（R），从而

eR（1-e）ReJ（R）。

（2）设e∈E（R）满足ReR=R则（1-e）R（1-e）=（1-e）ReR（1-e）据（1）知1-e∈J（R），由于J（R）不含非零的幂等元，从而e=1。

（3）对于e∈E（R）， Maxl（R），若eM.因为M是极大左理想，从而R=M+Re，从而（1-e）R=（1-e）M+（1-e）Re，而R是J—可逆环，（1-e）Re∈J（R）M，故1-e∈（1-e）RM。

设R为环，e∈E（R），称e为极小左幂等元，如果Re是极小左理想。R称

为极小左Abel环，如果任意的极小左幂等元e，有（1-e）Re=0；R称为直有限环，如果任意a，b∈R，ab=1，蕴含ba=1，

定理1 设R是J—可逆环，则

（1）任意e∈E（R），a∈R，有Ra+R（ae-1）=R。

（2）任意M∈Maxl（R），有M=∪e∈E（R）Me。

（3）R是极小左Abel环。

（4）R是直有限环。

证明：

（1）假设Ra+R（ae-1）≠R，则有R的极大左理想M使得Ra+R（ae-1）M。若e∈M，则ae∈M，从而1∈M这与M的极大性矛盾，所以eM。据引理1（3）知1-e∈M，从而a-ae=a（1-e）∈M。因为a∈M，故ae∈M，注意到ae-1∈M，于是1∈M，这又与M的极大性矛盾，所以，Ra+R（ae-1）=R。

（2）设M∈Maxl（R），e∈E（R），若MeM，则M+Me=R.令m1+m2e=1，其中m1，m2∈M，据（1）知Rm2+R（m2e-1）=R，从而R=Rm2+Rm1M，这与M的极大性矛盾，故MeM，从而M=∪e∈E（R）Me。endprint

（3）设e∈E（R）且Re为R的极小左理想，假设（1-e）Re≠0，则R（1-e）Re为含于R的非零左理想，从而R（1-e）Re=Re。由于R是J—可逆的，（1-e）ReJ（R），从而，e∈J（R），e=0，这与（1-e）Re≠0矛盾。所以，（1-e）Re=0， R为极小Abel环。

（4）设x，y∈R，满足xy=1，令e=yx则e∈E（R）。因为ReR=RyxR=RR=R，根据引理1知e=1。所以，R是直有限环。

3 主要结果

推论1 设R是J—可逆环，则

（1）任意a∈R，e，f∈E（R）满足a+e=aef，有aR=eR。

（2）任意a，k∈R使Rk为R的极小左理想，有Rk+R（ka-1）=R。

证明：（1）设a∈R，e，f∈E（R），满足a+e=aef则e=a（ef-1），据定理1（1）知R=Re+R（ef-1）=Ra（ef-1）+R（ef-1）从而R（ef-1）=R，据定理1（2）知ef-1为R的可逆元，从而eR=a（ef-1）R=aR。

（2）設Rk+R（ka-1）≠R，则ka≠0，且存在R的极大左理想M，使Rk+R（ka-1）M，因为Rka为Rk的非零同态像，故Rka为极小左理想。如果M是本质左理想，则RkaM，从而1∈M，这与M的极大性矛盾，故M不是本质的。于是，存在R的非零左理想L使M∩L=0，因为M是极大左理想，从而有R=M⊕L，所以，存在e∈E（R）使M=R（1-e），L=Re，因Re为极小左理想，据定理1（3）知（1-e）Re=0，于是MR=R（1-e）[R（1-e）+Re]=R（1-e）R（1-e）R（1-e）=M。这表明M为R的理想，由于k∈M，所以ka∈M，从而1∈M，这又与M之极大性矛盾。所以Rk+R（ka-1）=R。

命题2 设R是J—可逆环，e∈E（R），则eRe是J—可逆环。

证明：设a，b∈eRe，ab=0.因为R是J—可逆环，bRa∈J（R），任意r∈eRe，bra∈J（R），从而bra=ebrae∈eJ（R）e，但eJ（R）e=J（eRe），故beReaJ（eRe），则表明eRe是J—可逆环。

例：J—可逆环上的n阶方阵环未必是J—可逆环.设D为除环，R={abcda，b，c，d∈D}则R不是J—可逆环。

事实上，假设R是J—可逆的，因为J（R）=0，则R是可逆的。

令A=0101，B=1010，易验AB=0，BA≠0所以R不是可逆环。

例2表明环的J—可逆性不是Morita不变性质。

参考文献

[1]Cohn，P.M.，Reversible rings[J]. Bull Landon Math Soc，1999：641648.

[2]Zhang，L.，Yang，G.，On weakly reversible rings[J].Acta Math.Univ.Comenianae，2007：189192.

[3]Wei，J.C.，Li，L.R.，Quasi-normal rings[J].Comm.in Algebra，2010.endprint