马羽高蕾

基于二维卡尔曼滤波与最小二乘法的目标定位算法∗

马羽高蕾

（平顶山教育学院计算机系平顶山467000）

为了解决当前圆目标检测算法在噪声干扰与目标特征微弱的情况下，使其无法精确检测自动检测工件上的圆目标问题，论文提出了基于二维卡尔曼滤波与最小二乘法的工件圆目标定位检测算法。首先，基于一维卡尔曼滤波，利用图像像素灰度特性代替其一维信号模型，推导用于二维图像的卡尔曼滤波机制，有效滤除图像噪声，提取圆目标轮廓。引入最小二乘法，建立回归圆方程，拟合出目标圆轮廓，计算出圆心位置与半径，完成圆目标检测。实验测试结果显示：与当前工件图像圆目标检测算法相比，在面对较多噪声干扰而目标特征微弱时，论文算法拥有更高定位检测准确度与鲁棒性，能够较好地抵御噪声的影响。

卡尔曼滤波；最小二乘法；圆目标定位；图像噪声；回归圆方程

Class NumberTP391

1引言

随着计算机视觉技术不断提高和市场需求的不断扩大，把各个图像处理算法作为独立功能模块化，并用到专门的场合已成发展趋势［1～2］。比如其中的找圆功能，即定位圆目标，在军事、工业、教育、医疗都有广泛的应用［3～4］。以工业背景为例，各种钢板切割，都需要在钢板上预先做好标记，而这些标记往往以圆形居多，能否准确定位这些圆，直接决定钢板的切割质量。但同时也带来了问题，钢板表面纹理复杂，经过钻刻后的圆，纹理更为复杂，这对准确找到圆带来了很大的障碍。

对此，国内研究人员已经将图像处理与计算机视觉技术引入到该领域中，对其展开研究，如吴尧锋［5］提出了边界聚类椭圆快速检测系统，包括图像预处理、边界聚类、椭圆拟合和去伪过程，达到了检测图像中圆目标。但是，此技术适用于较简单的背景，在背景噪声较多时，往往容易受到干扰，导致圆目标查找错误。如孙雯雯［6］提出了基于Hough变换的圆定位算法系统，根据圆形状特性为近似圆环状，提出一种快速有效的圆定位算法，对圆图像进行灰度数学形态学操作，再根据操作后图像的灰度直方图对其进行二值化处理，并进行二值图像形态学处理，联合Hough变换，获取圆目标的内外边缘，得到内外圆的圆心与半径，从而实现了圆目标快速定位目的。但是，此技术依靠Hough变换方程，在图像数据复杂时，其圆形回归方程往往不准确，导致圆定位不准确。

对此，为加强工件圆目标检测算法的抗干扰性，本文提出了耦合二维卡尔曼滤波与最小二乘法的工件圆目标检测算法。基于一维卡尔曼滤波技术［7］，推导出二维噪声过滤机制，提取圆目标轮廓，并基于最小二乘法［8］，构建回归圆方程，拟合出目标圆轮廓，准确定位圆目标，最后，测试验证了本文算法的检测准确性。

2本文圆目标定位检测算法

本文的工件圆目标检测算法过程见图1，该算法首先完成一维卡尔曼滤波的二维推导，排除噪声干扰，对目标圆轮廓准确提取。引入最小二乘法，建立回归圆方程，拟合出目标圆轮廓，排除噪声轮廓的干扰，计算出圆心位置与半径，完成圆目标查找。

图1 本文机制架构

如图2所示，工件图中的圆目标背景纹理复杂，无规律的高斯噪声或者椒盐噪声，所以采用普通滤波（均值、中值），无法得到有效的降噪；而且圆目标边界也不清晰，与噪声交融在一起，对圆轮廓的准确提取带来了很大障碍。本文设计的算法就是从复杂背景条件下精确定位圆目标。

2.1基于二维卡尔曼滤波机制的边缘检测

为了检测到工件圆特征，首先要滤波得到圆边缘二值图。当前常用的降噪技术是滤波处理，但是由于本文研究的对象的表面纹理复杂，难以用常规的高斯噪声或者椒盐噪声来处理。由于卡尔曼滤波基于图像本身前置噪声信息，推测后置噪声，对钢板纹理这种随机噪声有很好的预测性与抗干扰性。对此，本文基于1D卡尔滤波，建立二维噪声过滤技术，其过程见图3。一维卡尔曼滤波方程如下：

式中s(i)为一维信号输入量，H(i)为一维卡尔曼增益，是对噪声预测的重要参数，ε(i)为一维协方差向阵，C(i)为一维相关系数，将一维卡尔曼滤波推导到二维卡尔曼滤波过程：将一维信号输出替换为二维图像像素灰度值I(k)，一维信号输入量i替换为二维图像坐标k，从而构建卡尔曼滤波方程。首先计算卡尔曼增益如下［9］：

式中H(k)为卡尔曼增益，是对噪声预测的重要参数，ε(k)为协方差矩阵，C(k)为相关系数，协方差矩阵计算公式如下：

式中，ε(k)为协方差矩阵，是比较前后两个像素区域噪声偏离程度，H(k)为卡尔曼增益，C(k)为相关系数：

式中C(k)为相关系数，代表前后两个像素区域噪声关联程度，ε(k)为协方差矩阵，H(k)为卡尔曼增益，最终，2D卡尔曼滤波模型为

式中I(k+1)为滤波后图像，I(k)为滤波前图像，H(k)为卡尔曼增益，是对噪声预测的重要参数，ε(k)为协方差矩阵，C(k)为相关系数［9］。

图3 滤波过程

利用本文2D卡尔滤波技术对图2完成降噪，效果见图4。由图可见，其噪声仍较多，但是通过多轮迭代卡尔曼滤波，直到前后两次滤波误差接近0，此时降噪效果最佳，效果如图5所示，可见效果明显，得到包含圆边缘和少量噪声的图像。

图4 一次滤波结果

图5 迭代滤波结果

2.2基于最小二乘法的圆定位

得到包含圆边缘和少量噪声像素点的二值图像后，需要进一步筛选圆边缘，剔除噪声干扰，完成准确的圆目标检测。故本文提引入最小二乘法［10～11］，建立回归圆方程，完成圆目标检测，其过程见图6。最小二乘法的核心思想［11］为最小化误差的平方和，寻找数据的最佳函数匹配，使求出值与实际值之间的误差平方和最小，通过进行曲线拟合，得到圆形回归方程。根据圆边缘各点到圆心距离一致的特性，首先建立圆模型方程如下：

式中R代表圆目标的半径，（A，B）为圆目标的中心位置，（x，y）代表圆边缘上的任意坐标，将该式展开如下：

式中，A、B、R为模型所求参数：

式中，a，b，c为未知参数，目的是用来求取模型参数A，B，R。将其代入式（6）中，可得：

上式为圆模型参数的变形式，在此基础上，代入多个圆边缘坐标，并求和：

其中，Q(a，b，c)代表综合圆方程，a，b，c代表所求参数。

为得到局部区域极大值，即符合回归方程的坐标点，需对方程式求导，再对式（9）进行求导，得到：

得到a，b，c的导数后，代入多组圆边缘坐标点，即在该处为圆边缘；求得a，b，c，构建圆回归方式5。利用回归圆方程对图5进行拟合，结果如图7所示，可见，本文算法准确地找到圆的边缘。

图6 拟合圆过程

图7 找圆结果

3实验与讨论

为了体现本文算法的优势，将当前圆目标精度较高的技术文献［5］、文献［6］设为对照组，算法实验参数：圆半径为400像素、相关系数为0.7121，协方差为0.6352。图8为待处理原图，可见其背景复杂，纹理噪声无高斯规律。软件开发环境为VS2012，语言为C++。

图8 原图

本文先建立卡尔曼方程，计算增益，完成滤波，得到包含圆边缘的二值图，如图9所示。最后基于最小二乘法，构建圆回归方程，使拟合圆与实际圆的误差最小化，完成对圆边缘像素的拟合，定位得到圆的边缘和圆心，并标注，如图10所示，可见本文准确地定位圆边缘区域。

图9 卡尔曼滤波结果

而利用对照组文献［5］技术检测图8中的圆目标时，由于采用边界聚类、椭圆拟合和去伪过程，计算结构复杂，只适用于较简单的背景，在背景噪声较多时，往往计算不准确且速度慢，容易受到干扰，导致圆目标查找错误，如图11所示，出现了漏定位，定位结果不够准确。

图10 本文找圆结果

图11 文献［5］的定位结果

利用对照组文献［6］技术处理图8时，由于依靠Hough变换方程，在图像数据复杂时，其圆形回归方程往往不准确，导致圆定位不准确，如图12所示，出现了定位过多，定位结果不够准确。

图12 文献［6］的定位结果

为了量化三种算法的圆目标定位精度，以图8为目标，并加入不同强度的高斯噪声，利用三种算法对其完成定位检测，每次试验重复进行了50次，记录圆心坐标的误差值，取平均值，结果见表1。依表可知，本文算法的定位精度最高，与实际圆心坐标误差最小，而文献［6］技术单纯依靠Hough变换来实现圆心定位，但由于Hough变换的鲁棒性不佳，难以处理纹理复杂的工件图像，在噪声干扰下，使其圆目标定位误差最大。文献［5］虽然能够较好地检测圆目标圆边，对其进行精确拟合，但是由于高强度噪声干扰（超过30dB时），使其定位误差要远高于本文算法。

4结语

为了解决钢板圆孔表面纹理复杂，噪声较多情况下，影响找圆精度的问题，本文设计了基于卡尔曼滤波与最小二乘法的找圆算法，实现对卡尔曼滤波方程建立、滤波处理、边缘提取、圆回归方程建立、最小二乘误差计算。实验结果表明：相比于当前圆目标定位技术，在高强度噪声干扰下，本文算法具有低误差，高精度的优势。

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Circle Positioning Algorithm Based on 2D Kalman Filtering and Least Square Method

MA Yu GAO Lei
（Departmentof Computer Application and Science，Pingdingshan Institute ofEducation，Pingdingshan 467000）

In order to solve the currentfind circle algorithm in dealing with noise and weak targetfeature，there can be no ac⁃curately find the targetcircle，a circle algorithm for prospecting based on Kalman filtering and least squares method is presented in this paper.First of all，based on one-dimensional Kalman filter，and the two-dimensional image of Kalman filter，the image noise is filtered out，the contour extraction of the targetcircle is completed.Then the least square method is let into，regression equation ofa circle is established，targetcircle contour is fitted out，the position ofthe center ofa circle with radius circle targetsearch is cal⁃culated.Finally，the programming of the Kalman image filters and least squares fitting are integrated into the circle algorithm.The experimental results show that compared with the traditional algorithm，the algorithm has a higher accuracy of circle finding in the face ofmore noise interference and the feature ofthe targetcircle is notobvious.

Kalman filter，leastsquare method，circle targetlocation，image noise，regression equation

TP391

10.3969/j.issn.1672-9722.2017.08.041

2017年2月6日，

2017年3月28日

马羽，男，讲师，研究方向：图像处理、计算机应用、软件设计。高蕾，女，硕士，讲师，研究方向：图像处理、计算机应用。