孙加平 卜伟斐 胡金木 温树杰

∗(江西工业工程职业技术学院采矿与建筑工程系，江西萍乡337055)

†(江西理工大学建筑与测绘工程学院，江西赣州341000)

二维边坡稳定性分析的最小势能法新解

孙加平∗,1)卜伟斐∗胡金木∗温树杰†

∗(江西工业工程职业技术学院采矿与建筑工程系，江西萍乡337055)

†(江西理工大学建筑与测绘工程学院，江西赣州341000)

针对最小势能法研究的不足，通过条块虚位移方向的静力平衡方程确定滑面上剪应力的解析解，构建了一种新的剪切势能计算模型.同时，提出了一种多地层边坡稳定性分析方法.算例结果表明：剪切势能对边坡稳定性系数会产生影响，使得计算结果更为合理；运用文中方法计算得到边坡稳定性系数与极限平衡法的结果较为一致，表明文中的计算方法是可行且合理的；文中多地层边坡的计算模型，考虑了土层滑面长度以及法向力对边坡抗剪强度的贡献，且计算简便，易于工程人员使用.

最小势能,滑面,剪应力,边坡,稳定性系数

边坡的稳定性分析是岩土工程中的热点问题，引起了研究者的关注[12].最小势能法作为边坡稳定性分析的方法之一是近几年逐渐发展起来的[36].如文献 [7]扩展了最小势能法边坡稳定性分析的适用范围，将其应用于挡土墙加固边坡的稳定性分析中；文献[8]研究了锚杆作用下边坡稳定性的最小势能法，说明了最小势能法在加固边坡的稳定性分析中仍是适用的.因而，上述研究仍可从以下方面进行补充：其一，考虑滑面储存的剪切势能，构建一种适用于任意形状滑面的计算模型；其二，对于复杂边坡的稳定性计算，文献[4]的计算方式较为复杂，并且将地基系数用上覆土层的平均重度代替,地基系数与容重量纲相同，但二者不在同一个数量级.因而，需要探索出一种简便有效的解法.

因此，本文针对非加固边坡问题，运用最小势能法构建了一种适用于任意形状滑面的计算模型,不仅在接触点设置法向弹簧,而且增加了滑面切向剪切势能.同时，给出适用于复杂边坡稳定性分析的计算方法.为验证文中计算方法合理性，运用该法计算了两个算例的稳定性系数，并将得到的结果与极限平衡法进行对比.

1 二维均质边坡稳定性分析方法

1.1 滑面法向弹性势能

对于如图1所示的均质边坡，已知潜在滑面方程为y=f(x)，土体容重γ，土体内摩擦角ϕ，黏聚力c.建立模型时采用如下假定：(1)滑体为刚性体，沿滑面法向、切向分别产生弹性变形、剪切变形，并储存弹性势能、剪切势能；(2)刚度系数ki的弹簧模拟滑面法向弹性变形，且ki=mli(li为滑面微段长度).其中，m是地基系数，均质土的计算可将其消去[3]；(3)边坡在合外力R=(Rx,Ry)作用下产生虚位移d，使系统势能最小.

图1 任意形状均质边坡图

根据假定(2)可得滑面的法向力Ni为

式中η为滑面外法线单位方向向量.则沿滑面法向储存的总弹性势能Πe为

1.2 滑面切向剪切势能

根据相关文献[8]可知，坡体的剪切势能Πτi为

式中,Vi为剪切变形影响的土体体积，且Vi=hili；δi为土体的切应变；为储存剪切势能的剪应力.

如图 1所示，土体受剪切变形影响的深度为hi，滑床与滑体沿着滑面切向产生相对位移 d′= |ee′|，则

式中t为滑面切向单位向量.

图2为从图1中任取的土条，由于边坡失稳沿土体抵抗力最小的方向d，故假定土条条间力与虚位移方向一致，并将条块i的条间力记为Ei和Ei+1.其中 ∇ =且 dΔE为条间力合力 ΔEi的单位向

图2 土条受力分析图

令 d单位向量 量，则条块沿虚位移方向应满足

式中,cosω为法向力与虚位移夹角余弦，且cosω= η·du；cosϕ是剪应力与虚位移夹角余弦；cosϑ为合外力与虚位移夹角余弦；cosυ为条间力合力与虚位移夹角余弦；Ri为作用于土条上的合外力.

由式(5)得滑面上任意一点剪应力为

由式(3),式(4),式(6)得条块储存的剪切势能为

由于条间力合力ΔE与d方向一致，故而dΔE· d=|d|，则整个滑面剪切势能Πτ为

由于条块间的力为作用力与反作用力，则

1.3 虚位移及稳定性系数的求解

滑体系统储存的总势能Π为

系统势能最小时，式(10)的一阶导数满足

解式(11)便可求得虚位移d=(dx,dy)，则滑面上的法向力Ni以及剪切力Ti为

稳定性系数Fs为滑面上的法向力、剪切力沿着虚位移方向上投影得到的抗滑力与合外力沿着虚位移方向上投影得到的下滑力比值，即

2 均质边坡算例验证

如图3所示的均质边坡，滑面形状为圆弧形，坡高h=20m，其余参数均在图中示出.

经计算可得边坡的稳定性系数Fs=1.687，为验证本文方法的合理性，将本文结果与其余算法进行对比，如表1所示.

从表1可得到以下结论：(1)本文方法与其余算法结果较为接近，相对误差范围为0.09%～3.6%，可见本文方法是合理且可行的；(2)本文的结果略高于文献[8]，作者认为原因如下：该文认为滑面上的剪应力均匀分布，这样有可能低估了滑面上的剪应力，而本文的计算模型给出滑面上任意点的剪应力，与实际情况更吻合；(3)同时，若忽略滑面上剪切势能，按照本文理论计算的结果与极限平衡法误差较大，相对误差达30%～34%，而考虑剪切势能的结果与其余算法更为接近，因而在二维边坡稳定性分析中考虑滑面上的剪切势能是合理的.作者认为原因如下：从式(2)、式(11)可以看出通过最小势能原理推出了一个三力平衡方程，且其中的两个力为法向力、合外力.显然，若忽略了剪切势能，推出的力平衡方程将只有法向力与合外力.既然如此，法向力与合外力应满足二力平衡.事实上，这是不可能的.因此，考虑滑面上的剪切势能将使建立的力学分析模型更合理与严谨.

图3 均质边坡算例

表1 各种方法下的稳定性系数

为进一步增强本文方法的说服力，采用控制变量法研究单因子对边坡稳定性系数的影响，并将所得的结果与其余方法对比，计算结果见表2和表3.

表2 不同黏聚力下的边坡稳定性系数

表3 不同内摩擦角下的边坡稳定性系数

从表中可以看出，本文方法与其余方法的结果较为接近.经计算可知，本文方法与其余算法得到的稳定性系数相对误差均未高于5%，表明本文方法可以用于边坡的稳定性分析.此外，两表中的数据表明：本文方法得到的稳定性系数与土体的抗剪强度参数呈现线性正相关的变化规律，其余的算法同样如此.事实上，这已是业界人士的共识，再次表明了本文计算方法的合理性与适用性.其实，从式 (12)和式(13)也可以看出，稳定性系数与抗剪强度参数(内摩擦角、黏聚力)符合单调递增的函数关系.因而，随着抗剪强度参数数值的增大，稳定性系数也必然增大.同时，从表2和表3数据还可以看出，本文方法与Bishop法、Janbu法计算结果仍有差别.作者认为原因主要有两个：其一，本文方法与极限平衡法计算模型不同.Bishop法和Janbu法需迭代求解稳定性系数，而最小势能法直接给出了法向力，无需迭代；其二，本文方法与极限法稳定性系数定义方式不同，Bishop法和Janbu法采用了强度折减的定义方式，本文与之不同.

3 多地层边坡稳定性分析方法

3.1 计算模型

本文采用将多地层边坡的抗剪强度指标化成等效的均质土边坡的方式，但又不同于传统的按层厚加权平均法.本文仅以图4中的三层土边坡为例进行说明.将黏聚力c按各层土中滑面长度加权平均值作为简化后的黏聚力ce，即

式中,ci为各层土黏聚力,li为各层土中滑面长度.

内摩擦角影响抗剪强度的因素为滑面长度与法向力，而法向力与水平方向的夹角α有关，故而在ce计算基础上引入修正系数αi，进行等效内摩擦角ϕe的计算，即

图4 分层土边坡示意图

式中,αi为各土层滑面法线与水平面的夹角,为修正后的各层土体中滑面长度.则ϕe为

将式(15)、式(17)代入式(13)便可得稳定性系数.

3.2 算例验证

如图 5所示存在软弱下卧层的多地层边坡，土体容重均为 19.2kN/m3.软弱层厚度 4.55m，c=0，ϕ=10°；上层土 c=29.3kPa，ϕ=20°，坡高h=12.2m，坡比为为2:1，潜在滑面方程为：(x-6.1)2+(y-21.3)2=24.42.计算结果如表 4所示.

图5 多地层边坡算例

表4 不同方法得到的结果

从表4可知文中方法与极限平衡法的结果较为接近，相对误差在5%以内，表明文中的计算方法是可行且合理的.同时，从表4的数据可以看出，按层厚加权平均法的计算结果偏小，且与极限平衡法的相对误差达到了20%以上.主要是该法高估了土层厚度对边坡的稳定性的贡献，低估了滑面弧长以及法向力的影响，而本文恰好考虑了滑面弧长以及法向力对稳定性系数的贡献，故而本文方法与实际更为相符.

此外，为进一步增强文中多地层算法的说服力，在多地层算例的基础上，通过改变上部坚硬土层的厚度(两层土的总厚度保持不变)，计算了各种方法的稳定性系数，计算结果如图6所示.

图6 改变硬土层厚度各种方法下的稳定性系数

从图6可以看出：(1)在硬土层厚度为0,15.3m时，各种方法的稳定性系数较为接近，再次表明本文方法是适用的；(2)按层厚加权平均得到的计算结果几乎随硬土层厚度线性变化，而本文结果呈现曲线变化规律.尤其是在软土层厚度较小的情况下曲线的斜率较大，这与Janbu法、Bishop法的变化规律类似，并且结果接近，验证了本文多地层边坡稳定性分析模型是合理的.同时，上述现象说明，滑面下部的软土层所起的作用很大，即使其厚度较小，对边坡稳定性的影响也较为明显.实际上，这与工程实际情况相符.然而，按层厚加权平均的方法无法体现这种现象.因而，本文多地层算法是合理地，且具有工程应用价值.

4 结论

本文从能量的角度出发，基于势能最小原理进行了边坡稳定性分析，得到了以下结论：

(1)文中的剪应力计算模型适用于任意形状滑面，且可以给出其在滑面上任意一点的解析解.算例结果表明：文中的计算方法得到的结果与极限平衡法相对误差在5%以内，满足工程精度要求.

(2)文中非均质土边坡计算模型，分别从滑面长度以及法向力考虑了土体抗剪强度指标对稳定性系数的贡献，物理意义明确，计算简便，易于工程人员使用.

(3)用最小势能分析法研究边坡稳定性是一种有益的探索.然而，目前其在国内外的研究还不是很深入，且相应的计算软件不多，因此该法离工程应用还有较大的距离.

1栾茂田,武亚军,年延凯.强度折减有限元法中边坡失稳的塑性区判据及其应用.防灾减灾工程学报,2003,23(3):1-8

2房营光.土质边坡失稳的突变性分析.力学与实践,2004,26(4): 24-27

3沈爱超,李铀.单一地层任意滑移面的最小势能边坡稳定性分析方法.岩土力学,2009,30(8):2463-2466

4王明华,李小强,白世伟.基于GIS和最小势能原理的斜坡稳定性三维分析.岩石力学与工程学报,2005,24(13):2376-2379

5李小强,白世伟,李铀.最小势能方法在二维边坡稳定性分析中的应用.岩土力学,2004,25(6):909-912

6温树杰,孙加平,胡国保等.改进的最小势能法与Bishop法边坡稳定计算对比分析.人民长江,2015,46(22):45-48

7温树杰,田亮.挡土墙支护边坡的最小势能稳定性分析方法.建筑科学,2013,29(7):20-23

8李铀,陆洋,李妮,等.锚杆(索)加固边坡的最小势能稳定性分析方法研究.岩土力学,2008,29(9):2329-2334

(责任编辑:刘希国)

NEW SOLUTION OF 2D SLOPE STABILITY ANALYSIS BASED ON MINIMUM POTENTIAL ENERGY PRINCIPLE

SUN Jiaping∗,1)BU Weifei∗HU Jinmu∗WEN Shujie†

∗(Department of Mining and Construction Engineering,Jiangxi Vocation College of Industry&Engineering, Pingxiang 337055,Jiangxi,China)
†(School of Architecture and Surveying Engineering,Jiangxi University of Science and Technology, Ganzhou 341000,Jiangxi,China)

For insufficient of minimum potential energy method research,model of shear potential with static equilibrium equation of sliding body virtual displacement is proposed,which can solve shear strength on failure surface.Moreover,stability analysis method of multi layer slope is forwarded.Results of paper examples show that:shear potential energy of sliding mass can inf l uence stability factor of slope,and it can obtain reasonable result;paper method is feasible and reasonable,which result from stability factor of proposed method is close to limit equilibrium method;analysis method of multi layer slope not only considers contribution of sliding surface length and normal force,but also it is simple and easy to be used by engineering.

minimum potential energy,failure surface,shear strength,slope,stability factor

TU435

：Adoi：10.6052/1000-0879-17-004

2017–01–04收到第1稿，2017–03–08收到修改稿.

1)孙加平，硕士，助教，主要从事边坡的稳定性分析方面的研究.E-mail：sjpjust2013@126.com

孙加平,卜伟斐,胡金木等.二维边坡稳定性分析的最小势能法新解.力学与实践,2017,39(4):349-353

Sun Jiaping,Bu Weifei,Hu Jinmu,et al.New solution of 2D slope stability analysis based on minimum potential energy principle.Mechanics in Engineering,2017,39(4):349-353