时间测度链上三点边值问题两个正解的存在性
2017-09-11魏嘉,王静
魏 嘉, 王 静
(兰州文理学院师范学院，兰州 730000)
时间测度链上三点边值问题两个正解的存在性
魏 嘉*, 王 静
(兰州文理学院师范学院，兰州 730000)
运用锥上的Avery-Henderson不动点定理，研究了时间测度链上一类非线性三点边值问题
至少2个正解的存在性,其中,T表示时间测度链,0≤a
时间测度链； 边值问题； 不动点定理； 正解
HILGER[1]首次提出了时间测度链上的分析理论,将看起来不相关联的连续分析和离散分析进行了高度统一. 在这之后,时间测度链上的动力方程在自然科学和社会科学的许多领域得到了广泛应用,也解决了许多领域里微分方程、差分方程不能单独解决的实际问题. 与此同时,关于时间测度链上的动力方程边值问题的研究也引起了学术界的高度关注,如研究了时间测度链上几类典型的多点边值问题[2-8]及多点边值问题正解的存在性[9-13]. 然而,利用锥上的Avery-Henderson不动点定理研究时间测度链T上非线性方程
u(t)+h(t)f(t,u(t))=0 (tT)
在一定条件下正解存在性的文献却相对较少.
本文考虑时间测度链上三点边值问题
(1)
其中,T表示时间测度链,0≤a
(H1)hCld([a,c],[0,+))且存在t0[a,c],使得h(t0)>0；
(H2)fC([a,c]×[0,+)→[0,+)),且在T的任意子区间上f(t,·)>0.
1 预备知识
本文所用工具为Avery-Henderson不动点定理:
定理A[14]设P是实Banach空间E上的锥,P(ψ,r)={uP∶ψ(u)
φ(u)≤φ(u),0≤≤1,∀u∂P(φ,q),
(i)ψ(Tu)>r,u∂P(ψ,r);
(ii)φ(Tu) (iii)P(ω,p)≠∅,且ω(Tu)>p，u∂P(ω,p), 为了得到本文的主要结果，需要以下几个重要引理. 引理1 若α≠0且yCld[a,c],则边值问题 (2) 证明 由u(t)+y(t)=0,可令u(t)为 引理2 若α>0,β≥1且yCld([a,c],[0,)),则边值问题(2)的唯一解满足： P={uE:u(t)≥0,u是凸函数且uΔ(a)=0}. (3) (4) (5) 从而,由式(4)、(5),可得 为了后面推理的需要，做记号 本文的主要结果为： 定理1 设α>0,β>1且假设(H1)、(H2)成立. 若存在p、q、r,使得0 则时间测度链上三点边值问题(1)至少存在2个正解u1和u2,且满足：u1(a)>p,u1(b) 证明 定义算子 在P上定义非负连续增函数ψ、φ和ω,使得ψ(u)=u(b),φ(u)=u(b),ω(u)=u(a). 对于任意的uP,有ψ(u)=φ(u)≤ω(u). 另外,对于任意的uP,由式(3)有 (6) 此外,φ(0)=0,则 φ(u)=φ(u) (uP,). 为了证明定理A的条件成立,下面分3步加以说明. 再由定理1的(i),可得 可知,定理A的(i)成立. 再由定理1的(ii),可得 第3步,设u∂P(ω,p),由0P,P(ω,p)≠∅及式(3),可得 再由定理1的(iii),可得 可知,定理A的(iii)成立. 综上,定理A的条件全都满足,由定理A可知,时间测度链上非线性三点边值问题(1)至少存在2个正解u1和u2,且满足： u1(a)>p,u1(b) (7) 设r=100,q=60,p=24,则 f(r)=f(100)≈2.67,f(4q)=f(240)≈2.70, 可以得到 [1] HILGER S. Analysis on measure chains:a unified approach to continuous and discrete calculus[J]. Results Mathematics,1990,18(1):18-56. [2] BOHNER M,PETERSON A. Dynamic equations on time scales:an introduction with applications[M]. Boston:Birkhauser,2001. [3] AGARWAL R P,BOHNER M,SAKER S H. Oscillation of second order delay dynamic equations[J]. Canadian Applied Mathematics Quarterly,2005,13(1):1-18. [4] ANDERSON D R,CABADA A. Third order right-focal multipoint problems on time scales[J]. Journal of Difference Equations and Applications,2006,12(9):919-935. [5] DOGAN A,GRAEF J,KONG L. Higher order semipositone multi-point boundary value problems on time scales[J]. Computers & Mathematics with Applications,2010,60(1):23-35. [6] KAMESWARA A R. Positive solution for a system of nonlinear boundary-value problem on time scales[J]. Electronic Journal of Differential Equations,2009,127(1):1-9.[7] LIANG G H,XIAN F Z. Positive solutions of semipositone higher-order differential equations on time scales[J]. Nonlinear Analysis,2011,74(9):3033-3045. [8] YANG Y,MENG F. Positive solutions for the singular semipositone boundary value problem on time scales[J]. Mathematical and Computer Modelling,2010,52(3):481-489.[9] COODRICH C. Existence of a positive solution to a nonlocal semipositone boundary value problem on a time scale[J]. Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae,2013,54(4):509-525. [10]DENK A,TOPAL S. Existence of positive solutions for the second order semipositone m-point boundary value problem on the time scales[J]. Differential Equations & Dynamical Systems,2014,22(3):265-280. [11]SUN J P,PERERA K. Existence of positive solution to second-order three-point BVPs on time scales[J]. Boundary Value Problems,2009,2009(1):10-15. [12]ZHANG C,WANG L,FAN Y. Existence of positive solutions for a dynamic equation on measure chains[J]. Applied Mathematics Letters,2014,35(1):24-28. [13]ZHAO J F,LIAN H R,GE W G. Existence of positive solutions for nonlinear m-point boundary problems on time scales[J]. Boundary Value Problems,2012,2012(1):1-15. [14]AVERY M A,HENDERSON J. Two positive fixed points of nonlinear operators on ordered Banach spaces[J]. Communications on Applied Nonlinear Analysis,2001,8(1):27-36. 【中文责编：庄晓琼 英文审校:肖菁】 TheExistenceofTwoPositiveSolutionstoThree-PointBoundaryValueProblemonTimeScales WEIJia*,WANGJing (SchoolofNormal,LanzhouUniversityofArtsandScience,Lanzhou730000,China) Existence of at least two positive solutions to a nonlinear three-point boundary value problemon time scales is considered, and the main tool is well-known Avery-Henderson fixed-point theorem in cones. The solution and some of its properties of the linear three-point boundary value problem related to the nonlinear boundary value problem are provided. At last, an example is given to demonstrate the result of this study. time scales; boundary value problem; fixed point theorem; positive solution 2016-01-14 《华南师范大学学报(自然科学版)》网址：http://journal.scnu.edu.cn/n 甘肃省自然科学基金项目(3ZS042-B26-021)；甘肃省高等学校科研项目(2015A-172，2016A-112)；兰州文理学院高水平科研项目(2015GSP07) O A 1000-5463(2017)04-0102-04 *通讯作者:魏嘉，副教授，Email:weijia_vick@163.com.
2 主要结果
3 应用举例
