任宇鹏

摘 要：对于实际问题中涉及到优化的问题，往往需要从各种数据中提取有效的信息来制定最佳方案，本文建立以层次分析为基础的综合评价模型，并针对学生完成作业效率与环境的相关性展开分析，将效率通过完成时间、准确率以及学生的疲劳程度定量进行定义，把复杂的多因素有层次的进行简化分析，找出了最佳评价方案。利用本文的模型将有助于生产实际的科学决策，提高完成效率。

关键词：完成效率；层次分析；环境；决策

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2017）15-0229-02

1 概述

生产实际中，在众多方案中，选择出最佳方案，提高效率一直是核心。效率受各种各样的因素影响，面对各种各样的数据，需要基于统计学方法，合理地分类处理数据，建立模型，综合考虑各种因素，建立数学模型得到最优解。本文基于统计方法结合层次分析法，建立了综合评价模型，并着手解决学生完成作业最佳效率与环境的选择的实际问题。随着广大同学们步入高中的大门，写作业难度的提升，作业量的增多成为了每位同学面临的重大问题。放眼远观，提高效率的方法无数，但是归根结底，众多因素都取决于环境，除此之外，不同学科对于学生作业完成效率也有较大的差异。对于“不同环境下，同学们完成作业的效率”，我们需要解决以下问题：

（1）总结出作业完成时环境的几种普遍情形以及不同学科作业对应的情况；（2）总结出相应环境下，同学们完成作业的时间和正确率；（3）总结出相应环境下，同学们的疲劳程度。

针对效率这个问题，本文主要采用三个因素进行量化：时间，正确率，精力（疲劳程度）。以上三个问题刚好是用来补充这三个条件的。因此本文首先进行搜集采样，获取样本数据，为了获得较为普遍的规律，样本采用中等成绩学生的数据。考虑到这些数据用于对比，所以我将用条形统计图（时间和正确率）和扇形统计图（疲劳程度）完成[1]。

2 案例数据的统计与分析

2.1 符号说明

考虑到本模型中存在多种因素变量，为了便于数学模型的建立，首先进行符号说明：C1：教室（有音乐、其他同学）的环境；C2：教室（安静、独自一人）的环境；S：操场的周围；G：美丽的小院；L1：图书馆（几乎无人）；L2：图书馆（有很多人）；H：家。

2.2 数据分析

（1）不同环境下样本平均完成作业所需的时间以及正确率情况。调研的数据如表1所示：为了便于之后模型不受到时间单位的影响，此处将单位进行归一化处理，同时除以最大完成时间4h进行归一化。（2）教室与图书馆两种环境下同学们疲劳程度的比较。图1所示，选用教室（安静、独自一人），图书馆（有很多人）这两个研究对象进行进一步调查，因为这两种情况下作业完成效率最高。比较这两种情况下的疲劳程度，疲劳程度用1～5数字等级表示，数字越大表示疲劳程度越高。（3）同学对不同学科作业三种因素的比较。选取图书馆作为作业完成的背景，不同学科下同学的疲劳程度、完成时间以及正确率的数据调研如表2所示。

通过上图1可得出：在图书馆（有很多人）时完成化学，数学，物理的效率最高。

3 模型的建立与求解

3.1 综合评价的标准

在本模型中，评价的标准是作业完成效率，而效率E的定义可以从同学完成作业的疲劳程度y1（1～5表示的5个不同等级）、完成时间y2（归一化后的时间）以及作业正确率y3三个方面进行表征。由此效率的定义式可写为：

其中wi表示这三者对于效率定义的权重，且满足条件。需要注意的是，当各个评价对象和评价指标值都确定以后，问题的综合评价结果就完全依赖于权重系数的取值了，即权重系数确定的合理与否，直接关系到综合评价结果的可信度，甚至影响到最后决策的正确性。为了在模型中更加直观地比较作业完成效率，对上式做一些处理以达到简化的目的。这里采用将作业完成的正确率与作业完成时间（归一化）之比作一个参量来反应效率的相对大小，暂且将这个比值定义为绩效比，做出七种情况下绩效比的柱状图2所示。

即此处考虑效率的定义式为。根据经验，这里取。

3.2 层次分析法

下面主要就是建立起环境和学科两者的层次结构，目标是使得作业完成效率的定义式E达到最大化。首先是对七种环境的研究，针对C1、C2、S、G、L1、L2和H七种情况，要求满足：

对应的环境变量En的值。之后在考虑在此基础上，不同学科变量Su下使得作业完成效率E达到最大值的情况，即使得E达到最大值的（En， Su）的组合。

层次单排序就是把本层（学科层）所有要素针对上一层（环境层）某一要素，排出评比的次序，这种次序以相对的数值大小来表示。对应于判断矩阵最大特征根λmax的特征向量，经归一化（使向量中各元素之和等于1）后记为W。W的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。此处得到的W矩阵综合图2。

由于λ连续的依赖于，则λ比n大的越多，A的不一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用λ-n数值的大小来衡量A的不一致程度。

表3所示，在通過层次分析得出图书馆环境下对学生作业完成效率最优的基础之上，代入效率定义式来分析学科对效率的影响。

因此，可以直观地比较出在图书馆完成化学作业的效率最高，这是在考虑了作业完成时间、正确率以及学生在完成作业后疲劳程度三方面因素下得出的结论。

4 结语

本文建立以层次分析为基础的综合评价模型，并针对学生完成作业效率与环境的相关性展开分析，找出了最佳评价方案。基于现有的小样本数据，对“不同环境对学习效率的影响”的实例进行分析，得到了最佳方案，教室（无人），图书馆（有人）学习效果是最好的。对该案例的分析，说明了本模型方法的实用性，对于更多需要优化的问题，也可以用本本的模型进行分析。

参考文献

[1]刘浪，王利.层次分析法在数学建模中的应用[J].成功：教育版，2013，（10）：78-79.endprint