汤明坤

摘 要：世界上最著名的数列之一——斐波那契数列，是从兔子繁殖问题引申出的一个数学模型。兔子在出生两个月后就具有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子。如果所有兔子都不死，那么一年后可以繁殖的兔子的对数会成斐波那契数列。它说明了一些线性数列所具有的规律。本文综述了斐波那契数列的发现、斐波那契数列与自然、生活方面的联系。

关键词：斐波那契数列；线性数列；规律；自然；生活

中图分类号：O1-0 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2017）15-0220-02

1 斐波那契数列

问题是这样的：一般而言，兔子在出生两个月后就具有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子。如果所有兔子都不死，那么一年后可以繁殖多少兔子？如表1。

对此，我们列一个简单的表格以理清我们的思路。

不难发现，幼仔对数、成兔对数、总对数都各自形成了一个数列，这个数列是：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34......而这个数列有一个很明显的特征，那就是，后一项等于前面相邻两项之和。如：3=1+2，13=5+8......

这便是斐波那契在《算盘全书》所说的：斐波那契数列。他还特别指出，此数列中，第0项为0，第1项为第一个1，数列從第2项开始，每一项都等于前两项之和。

此数列的递推公式为：Fn=Fn-1+Fn-2（其中F1=F2=1）

2 斐波那契数列与黄金分割的关系（如表2）

斐波那契的每一项都是自然数，但通项公式却使用无理数来表达的。而且当n趋向于无穷大时，后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近0.618。

我们不妨来用计算器验证一下：

更奇妙的是，如果任意从斐波那契数列中选取两个数，构成与斐波那契数列原理相同的数列，也可以得到这个结果。

比如我们选取192和16这两个数，构成192，16，208，224，…，7408，11984，19392，31376...这个数列。如表3。

同时，我们也可以利用黄金分割率来计算任意一个斐波那契数。公式如下。

比如，我们来计算第六个斐波那契数是多少。

我们得到的实际答案是8.00000033，但四舍五入就取8。

3 斐波那契数列的应用

3.1 与杨辉三角

将杨辉三角左对齐，成如图1所示排列，将同一斜行的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8、……

公式表示如下：

f⑴=C（0，0）=1

f⑵=C（1，0）=1

f⑶=C（2，0）+C（1，1）=1+1=2

f⑷=C（3，0）+C（2，1）=1+2=3

f⑸=C（4，0）+C（3，1）+C（2，2）=1+3+1=5

f⑹=C（5，0）+C（4，1）+C（3，2）=1+4+3=8

F⑺=C（6，0）+C（5，1）+C（4，2）+C（3，3）=1+5+6+1=13

3.2 与自然

斐波那契数列在自然科学的其他分支，有许多应用。例如，树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。

3.3 斐波那契螺旋线

斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例。斐波那契螺旋线，以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形，然后在正方形里面画一个90度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线。

3.4 电影、摄影构图

最近有一部很火的电视剧-《琅琊榜》，其实仔细观察会发现里面很多的构图都与斐波那契数列有关，让其在视觉上产生美感。

4 结语

斐波那契数列的神秘面纱被今人所揭开，古人的智慧同样也流传至今。其中不仅有学术上的奇迹，同时也阐述了数学与自然甚至是人体的完美结合，让我们感受到了数学世界的奇妙。endprint