徐秀斌, 李凯富

(浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华 321004)

牛顿法在两类弱Hölder条件下的收敛性*

徐秀斌, 李凯富

(浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华 321004)

对于Banach空间中一般的非线性方程,在一阶导数满足L平均的仿射径向Hölder条件下,讨论了经典牛顿迭代法的局部收敛性,得到了局部收敛性条件,同时证明了该方法的R收敛阶至少为1+p.在F′满足L平均的Hölder条件下,利用递推关系,给出了牛顿法的半局部收敛性定理.

牛顿法；L平均的仿射径向Hölder条件；L平均的Hölder条件；局部收敛性；半局部收敛性

0 引 言

在工程和应用数学上有大量的问题需要求非线性方程的解,然而这类非线性方程中的大部分都没有解析解,因此需要用数值逼近的方法去求方程的近似解.通常,用迭代法得到一个收敛序列,用来逼近原方程的解.牛顿法是应用最为广泛的方法之一,众多学者对牛顿法的收敛性做了大量的工作[1-4].

设X,Y是Banach空间,Ω⊆X是开凸子集,F:Ω⊆X→Y为非线性算子,且有连续的Fréchet导数F′.求解的非线性算子方程为

(1)

用于求解的牛顿法取如下形式:

(2)

式(2)中,x0∈Ω是初始点.研究牛顿法的收敛性质,主要是研究其局部收敛性和半局部收敛性.近年来,在局部收敛性研究方面,文献[5-6]给出了比Lipschitz条件更一般、更弱的L平均的径向Lipschitz条件:

(3)

式(3)中:x*是F(x)的零点；ρ(x)=‖x-x*‖；L是取正值的非减可积函数；xτ=x*+τ(x-x*).且在条件(3)下得到了局部收敛性的最佳半径r,即对于收敛球B(x*,r)内的任意初值x0,由式(2)产生的序列都收敛到x*，若增加球半径，则球内总存在x0，使式(2)产生的序列不收敛到x*.受文献[5-6]的启发，本文引入如下的F′满足L平均的仿射径向Hölder条件：