郭怡冰 苑文法 庞永峰

(1. 三峡大学 科技学院， 湖北 宜昌 443002； 2. 西安建筑科技大学 理学院， 西安 710055)

正则的正实部函数的导数估计

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(1. 三峡大学 科技学院， 湖北 宜昌 443002； 2. 西安建筑科技大学 理学院， 西安 710055)

本文主要讨论了正则的正实部函数的导数估计问题，即对正则的正实部函数，从已知的三阶，四阶导数估计式，利用归纳法原理及正则的正实部函数的性质推出n阶导数的一般估计式．

正实部函数； 正则函数； 导数； 估计

对于有界正则函数族B={φ(z)|φ(z)=c+c1z+…+cnzn+…，且|φ(z)|<1}中的函数，有熟知的经典不等式

潘一飞、廖孝中[1]对此类函数族进行了研究，得到二阶导数估计式如下：

设φ(z)=c0+c1z+…+cnzn+…在|z|<1内正则，且|φ(z)|<1，则

并由此得到，正则的正实部函数的导数估计式：

苑文法[2]将正则函数的导数估计推到三阶和四阶，并由此苑文法[3]将正则的正实部函数的导数

估计推到三阶和四阶，得到

|g(4)(z)|≤

苑文法[4]将有界正则函数的导数估计式推广到一般(n阶)的估计表达式，

本文的目的是对正则的正实部函数的导数估计做进一步的研究，推出正则的正实部函数的导数的估计式．从而将导数估计的问题，从特殊推广到一般．

主要结果：

定理 设g(z)=a0+a1z+…+anzn+…在|z|<1内正则，且Reg(z)>0，则

在证明定理之前，引入和证明下面的几个引理．

引理1[5]设φ(z)=c0+c1z+c2z2+…+cnzn+…在|z|<1内正则，|φ(z)|<1，则

成立．其中|s|<1，g0=φ(z)

引理2[5]设φ(z)=c0+c1z+c2z2+…+cnzn+…在|z|<1内正则，|φ(z)|<1，则

成立．

引理3 若g(z)=c0+c1z+c2z2+…+cnzn+…在|z|<1内正则，且Reg(z)>0．则

成立．

证明：考虑函数

由于正实部函数展开式的系数满足：

|an|≤2Re{a0}

故有关系

|G(n)(0)|≤2n！Reg(z)

由引理1，有

则

2n！Reg(z)(n≥1)

利用引理2和三角不等式，并令v=n-j，则有

所以引理3得证．

为证明的简单化，用归纳法来证明定理：

证明：当n=1时，有I(1，0)=1，得

所以，定理成立；

当n=2时，I(2，1)=I(1，0)=1，I(2，0)=1，得

所以，定理成立；……