闫宝罗，张 颖，魏 云，樊代和，贾欣燕

(西南交通大学 a.物理科学与技术学院；b.物理实验中心；c.物理国家级实验教学示范中心,四川 成都 611756)

快链条现象的研究

闫宝罗a，张 颖a，魏 云b,c，樊代和b,c，贾欣燕b,c

(西南交通大学 a.物理科学与技术学院；b.物理实验中心；c.物理国家级实验教学示范中心,四川 成都 611756)

研究了2017年IYPT和CUPT赛题中快链条问题. 通过建立简化的物理模型，结合动力学过程从理论上解释了快链条现象出现的原因及相关影响参量对下落速度的影响. 仿真计算结果表明：快链条中每根杆和水平方向的夹角越大，下落的时间越短；初始释放高度越高，张力做功导致的速度增量越大，快链条较自由落体下落更快；链长越长，下落速度较自由落体越大. 制作了具有不同链长、不同夹角的快链条，实验分别研究了水平方向的夹角、初始释放高度和链长对快链条下落速度的影响，实验结果和理论分析基本一致.

快链条现象；速度；Tracker分析；IYPT；CUPT

2017年国际青年物理学家锦标赛(IYPT)和2017年中国大学生学术物理竞赛(CUPT)题目中其中一题是“Fast chain”,其内容为：1根链条由若干相比于水平有一定角度的木棍组成，且由2根线连接，垂直悬挂然后释放. 相比于自由落体，当掉至水平地面时，链条掉落更快(即快链条现象). 解释此现象并研究相关参量如何影响链条的运动. 此题要求分析快链条现象形成的原因及相关物理参量对此现象的影响.

目前，已有报道对相关或类似的问题进行了研究，如Eugenio Hamm等人提出了有限曲率弯折模型，从钢球实验上解释了快链条下落比钢球链下落更快的现象[1]；Anoop Grewal等人研究了U形链条速度加快的现象，得出U形链条下落快于自由落体是由于连接空中下落链条部分和地面链条部分的绳上存在张力导致[2]；Rod Cross等人提出物体碰撞时，几何形状对能量耗散的影响，得出不同长度的刚性杆碰撞时能量不守恒的结论[3]. 本文分析了快链条下落的动力学过程，建立了物理模型，理论分析得出快链条下落较自由落体快的原因. 实际制作了快链条，结合Tracker软件对快链条现象进行实验研究，实验与理论分析基本一致.

1 现象定性解释

快链条从释放到完全落地实际上可细分为2个运动过程：

1)从释放到快链条的第1根杆接触地面. 在这个过程中整个快链条均在重力的作用下做自由落体运动，因此运动速度和自由落体没有差异，进而不会出现快链条现象.

2)快链条从第1根杆接触地面到整个链条全部落地. 从图1中可以看出，当快链条第1根杆的位置①接触地面时，会受到来自地面作用力N1的冲量J1，使另一端②以①端为支点发生顺时针转动，而链条②端与③端通过细绳相链接，因此该转动会通过细绳张力作用对③端产生向下的拉力N2，此时第1根链条有顺时针转动趋势，进而使④端上端所连接的绳松弛，不存在张力. 此时，链条的未接触地面部分在重力和拉力N2的共同作用下，其下落的加速度将较自由落体大，进而导致链条中未接触地面部分在单位时间内的速度增量比自由落体大. 当③端接触地面时，和①端落地的动力学过程类似，又会使第2根杆有逆时针转动的趋势，导致④端对上部链条有向下的力作用，空中剩余链条下落加速度也将比自由落体大. 同理，在此后的链条与地面发生碰撞时，重复着与第1、第2根链条同样的运动过程，最终的结果就是快链条中的杆全部落地所用的时间将比自由落体短，此即题目提到的快链条现象的定性解释.

图1 快链条受力分析

从以上定性分析可以得知，导致快链条现象出现的原因，其中重要的是上述第2个运动过程中细绳对杆存在N2的力作用导致的. 本文的后续分析将建立基于实际运动快链条的模型展开研究.

2 理论分析

依据赛题，假设快链条由如图1所示的结构组成. 快链条中每根杆的长度为l，每根杆与水平方向的夹角都为θ，相邻2个杆之间由细绳连接. 整个链条竖直方向的长度为L. 基于链条下落很快且相邻落地间隔很小的特点，做如下近似：认为碰撞一直持续，即从链条下落接触地面开始到整个链条系统下落完成，链条始终与地面发生碰撞(N1和N2一直存在)，链条每根杆与地面的接触时间非常短，即接触地面后速度很快降为0；连接杆的细绳质量不计，且不可拉伸. 在这种情况下，上述提到的快链条落地的动力学过程可简化为如图2所示的模型.

图2 简化模型

假设在t时刻，竖直方向长度为x的链条已经落地. 在随后的很短的时间dt内，有质量为Δm的链条正在接触地面，其运动位移为dx. 此时尚有竖直长度为L-x的链条正在空中下落. 以此Δm质量的杆作为研究对象，建立运动方程. 规定向下为正方向，由动量定理可知：

(Δmg-N1-N2)dt=ΔmΔv,

(1)

其中N1为地面在接触处①端对链条产生向上的支持力，N2为轻绳对链条②端产生向上的拉力，Δv为速度变化量，g为重力加速度. 根据前述假设，由于快链条的每根杆在接触地面后在合外力的作用下速度很快减为0，因此速度变化量可写为Δv=0-dx/dt. 如图2所示的简化模型，假设链条在竖直方向的线密度为ρ，则有Δm=ρdx，因此(1)式可写为

(2)

(3)

对此时未接触地面的快链条部分受力分析，由牛顿第二定律可知：

(4)

结合(3)和(4)式，即可得到整个快链条系统下落的动力学方程为

(5)

图3中，红色实线表示了γ=0的情况(即自由落体)，其为一直线. 当γ≠0时(对应快链条情况)，可以看出随着下落时间的增加，快链条的速度明显大于自由落体的情况，而且γ越大(即θ越大[2])，快链条下落的速度较自由体越大，最终导致快链条完全下落所用的时间越短. 这一结果解释了题目中所述的“相比于自由落体，当掉至水平地面时，链条掉落更快”现象.

图4 不同初始高度H下，链条运动仿真v-t图像

从图4中可以看出，随着初始下落高度H的增大，链条末端速度和起始端速度之差(每条图线的末端和起始端的纵轴值之差)也将增大. 这说明在链条长度L一定时，链条由于细绳张力作用获得的速度增量将增加；同时，从图4中也可以看出，随着H的增大，快链条下落的时间将越短.

图5 不同链长L下，链条运动仿真v-t图像

3 实验研究

图6 不同θ下快链条运动的v-t图像

当固定θ=30°，选择链长为L=0.92 m的快链条，通过改变初始释放高度H时，得到了如图7所示的实验结果，实验结果验证了图4所示的理论结果.

图7 不同初始高度H下，链条运动的v-t图像

图8 不同链长L下，链条运动的v-t图像

从图6～8的实验结果可以看出，实验结果与理论分析结果基本一致，证明了本文提出的理论正确，同时也解释了快链条现象产生的原因.

4 总结和讨论

本文从理论和实验两方面对2017年IYPT和CUPT赛题中提到快链条现象进行了研究. 首先，建立了较为简单的物理模型，分析了链条与水平方向夹角θ对下落速度的影响，得出快链条中每根杆和水平方向的夹角越大，下落的时间越短的结论；研究了初始释放高度对下落速度的影响，得出下落高度越高，张力做功导致的速度增量越大，快链条较自由落体下落更快的结论；研究了链条长度对快链条速度的影响，得出链长越长，下落速度较自由落体越大的结论. 最后，实验制作了具有不同链长、不同夹角的快链条，分别研究了杆与水平方向的夹角、链条初始高度和链长对快链条下落速度的影响，实验结果和理论分析基本一致. 需要说明的是：从理论模型方面而言，假设整个链条下落碰撞地面是持续的，但是在实际过程中，相邻2根链条之间的下落是有一定时间间隔的(如图1所示)，因而实际碰撞不是连续过程，这将使线密度ρ的提出具有不精确性. 另外，已有文献报道[3]系数γ还与接触面的材质耗散率有比较复杂的关系，这导致目前无法给出γ与快链条中杆与水平方向夹角θ的具体函数关系，只能对其做定性的分析. 同时，由于实验中使用了若干铅笔来制作快链条，每根铅笔不能保证和水平方向的夹角严格为设计值，再加上实验中通过Tracker软件测量速度时由于标记点是人为取点，进而会导致部分实验数据点偏离理论曲线的情况，这些都将造成实验数据和理论分析不能严格吻合. 我们将在后续的研究中进一步优化并且解决以上问题，进而对“快链条”问题进行系统化的解释.

[1] Hamm E, Géminard J C. The weight of a falling chain, revisited [J]. Am. J. Phys., 2010,78(8):828-833.

[2] Grewal A, Johnson P, Ruina A. Erratum:supplemental simulation to “a chain that speeds up, rather than slows, due to collisions: how compression can cause tension” [J]. Am. J. Phys., 2011,79(7):723-729.

[3] Cross R. Differences between bouncing balls, springs, and rods [J]. Am. J. Phys., 2008,76(10):908-915.

[4] Ruina A. A chain that pulls itself onto the table it falls on [EB/OL]. http://ruina.tam.cornell. edu/research/topics/fallingchains/.

[5] 周衍柏. 理论力学[M]. 北京：高等教育出版，2009：102-115.

[6] 徐忠岳,余杰,曾裕. Tracker软件在物理实验教学中的应用[J]. 中国教育信息化,2014(12):75-78.

[责任编辑：任德香]

Related research on fast chain

YAN Bao-luoa, ZHANG Yinga, WEI Yunb,c, FAN Dai-heb,c, JIA Xin-yanb,c

(a. School of Physical Science and Technology; b. Physical Experiment Center;c. National Demonstration Center for Experimental Physics Education,Southwest Jiontong University, Chengdu 611756, China)

The system of fast chain, one of the IYTP and CUPT problems of 2017, was investigated. Firstly, the simplified physical model was established. Then arising of the fast chain phenomenon was explained dynamically, as well as the influence of the parameters on the falling velocity was analyzed. The simulating calculation showed that the bigger the angles of the lever with the horizontal direction were, the shorter the falling time would be. The higher the initial height of the system was, the velocity increment brought about by the tension’s power would be bigger. Therefore the free falling became faster. The falling velocity increased with the increasing of the length of the chain system. The chain systems were made with different chain lengths and angles. And the influences of the lengths and angles on the falling velocity were studied in the experiments. The experimental results showed the coincidence with the theoretical analysis.

fast chain; velocity; tracker analysis; IYPT; CUPT

2017-02-27；修改日期：2017-04-22

西南交通大学学生科研训练计划项目(No.171303)

闫宝罗(1996-)，男，陕西汉中人，西南交通大学物理科学与技术学院2014级本科生.

樊代和(1981-)，男，山西河曲人，西南交通大学物理科学与技术学院讲师，博士，研究方向为光学.

O31

A

1005-4642(2017)06-0043-05