邹 超，陈发祥，金泽宇，谌 勇

(1.江南造船集团有限责任公司，上海 201913；2.上海交通大学 机械与动力工程学院，上海 200240)

敷设覆盖层圆板水下爆炸响应理论计算方法研究

邹 超1，陈发祥1，金泽宇2，谌 勇2

(1.江南造船集团有限责任公司，上海 201913；2.上海交通大学 机械与动力工程学院，上海 200240)

为研究敷设覆盖层圆板水下爆炸响应，提出一种理论计算方法。敷设覆盖层对圆板水下爆炸响应影响包括两方面：一为对冲击载荷的影响，二为在冲击载荷作用下对响应的影响。该理论计算方法运用波在多层介质传播理论得到湿表面压力，并积分得到冲量，运用等效均一化理论得到覆盖层与钢板整体结构的等效参数，根据圆板振动理论得到圆板真空振动方程，通过考虑水附加质量的影响修正圆板振动频率，最后根据初始条件得到圆板的响应。将理论方法的结果与有限元结果通过实例进行对比，证明该理论计算方法可以很好地预测圆板振动的位移响应。

振动与波；覆盖层；圆板；水下爆炸；多层介质传播的波；等效参数；无量纲附加质量因子

随着现代武器的发展和对潜艇生命力要求的提高，对潜艇低辐射噪声和高抗爆炸冲击性能的研究越来越受到各国海军的重视。目前通常在潜艇的艇体表面敷设一层多孔介质覆盖层以达到抗冲隔声的目的。因此研究在水下爆炸冲击波输入情况下表面敷设覆盖层对潜艇艇体表面结构响应的影响极为重要。

由于潜艇板、壳有加强筋的作用，将有覆盖层的加强筋围成的板简化为固支有实心覆盖层的圆板。冲击载荷假设为远场平面波，简化模型如图1所示。气背衬相当于潜艇的耐压壳，水背衬相当于潜艇的轻外壳。分析敷设覆盖层圆板在冲击载荷作用下的响应，可以预测潜艇壳体的应力和变形。

图1 简化模型

对于该简化模型，理论计算方法主要分为两部分，第一部分为敷设覆盖层圆板对冲击载荷的影响，第二部分为敷设覆盖层圆板在冲击载荷作用下的响应。第一部分对冲击载荷的预测，采用波在多层介质中的传播理论，计算出湿表面（流体固体交界面）压力随时间变化的曲线[1]。第二部分对响应的预测，首先运用在第一部分中求得的压力曲线，对时间积分，求出冲量，由于冲击载荷作用时间非常短，在非常的短时间内可以认为，圆板的初始位移为0，具有恒定的可以由冲量求得的初速度。然后运用等效理论，将敷设覆盖层圆板等效为均匀圆板，求出等效刚度和等效泊松比[2–3]。再根据圆板振动理论建立圆板振动方程，考虑水附加质量的影响修正圆板振动频率[4–5]。最后根据给定的初始条件求出圆板的响应。

金泽宇等对一维波在多层介质中传播的理论进行了研究，虽然其应用范围为小振幅声波，但是在水下冲击波为远场并且冲击波脉宽很小、当冲击波基本结束而板位移很小的情况下也可以应用该理论，该理论可以很好预测敷设覆盖层对冲击输入载荷响应的影响[1]。Gong和Lam分析了在水下爆炸冲击载荷下复合梁的瞬态响应[2]和悬浮结构响应的衰减[3]。在处理敷设覆盖层的结构时，采用最小势能原理对复合结构进行等效，得出的等效刚度、等效泊松比、等效结构阻尼用于下步计算。Lamb假设圆板在水中振动振型与真空中振型相同，估算固支圆板在水中振动的1阶、2阶固有频率，提出无量纲附加虚拟质量因子，并计算了圆板的辐射声功率衰减[4]。Amabili和 Kwak发展了lamb的理论[5]，他们在和lamb假设一样的条件下，即假设水中各阶振型与真空中振型相同，在简支、自由和固支边界条件下运用Hankel变换计算了各阶频率对应的无量纲附加虚拟质量因子，他们用于计算的振型函数比lamb更为精确，同时计算结果不局限于第1阶、第2阶固有频率，并且计算了放弃lamb假设条件即精确假设水中振型条件下的结果，给出了在lamb假设条件下的计算误差。其他模型包括板为方板[6]、环形板[7]，以及其他边界条件[8]和水假设为牛顿流体条件下[9]的水下振动响应前人已经进行了研究，而板在水下振动的实验结果[10]与理论分析吻合得很好，所以文中提出的固支边界条件下圆形板的计算方法可以拓展到其他边界条件下的其他几何模型板。

运用理论计算方法，对敷设覆盖层固支圆板在水下爆炸冲击载荷作用下的响应进行理论分析，该理论计算结果可以近似表示潜艇板、壳在水下爆炸冲击作用下的响应。

1 计算方法

本节将介绍敷设覆盖层圆板对冲击载荷的影响和敷设覆盖层圆板在冲击载荷下的响应的计算方法。

1.1 敷设覆盖层圆板对冲击载荷的影响

根据一维波在多层介质的传播理论[1]，设r、s分别表示介质间的反射、透射系数，r12表示压力波从介质1（水）到介质2（覆盖层）时的反射系数，s32表示压力波从介质3（钢板）到介质2（覆盖层）的透射系数，其余类似命名同理，rIII为边界条件。

当m≥1，n≠0时湿表面压力在特征时间的增量

其中特征时间tm,n=m∙ts2+n∙ts3，ts2、ts3分别表示压力波在覆盖层和钢板来回传播一次的时间。fi(tm,n,t)表示压力波从覆盖层透射到钢板i次的增量。

pin(t)表示入射波。

算出特征时间压力的增量，每一时刻湿表面压力即为该时刻及以前所有顺序的时刻压力增量的和

运用波在多层介质中的传播理论可以求解各层介质任意交界面上的压力，上面仅列出用于求解湿表面的计算方法，其余物理量可用类似方法求得。为求出输入结构的冲量，需要将湿表面压力曲线对时间的积分减去背衬面压力曲线对时间的积分。在气背衬条件下，背衬面压力为0，而水背衬条件下，背衬面压力则不为0。图2所示为覆盖层阻抗变化对结构输入冲量的影响曲线。图中曲线是在固定波在钢板、覆盖层传播一次时间条件下改变覆盖层阻抗得到的。图中横坐标n1/n2=R1R3/R22，R1、R2、R3分别为水、覆盖层、钢板的阻抗率。横坐标的值越大表示覆盖层的阻抗越小。

图2 覆盖层阻抗变化与输入冲量关系曲线

由图中可以看出在气背衬条件下，随着覆盖层的阻抗减小，作用于结构的总冲量减小，将覆盖层为橡胶和覆盖层为钢两种情况进行比较，有橡胶覆盖层条件下作用于结构的冲量约减小为原来的1/2。这与谌勇等根据实验研究得出的敷设覆盖层会降低作用到结构的总冲量的结论一致[11]。在水背衬条件下，随着覆盖层阻抗的减小，作用于结构的总冲量先减小后增加再减小，不过在增加的过程增幅很小，将有橡胶覆盖层和覆盖层为钢两种工况进行比较，有橡胶覆盖层时，作用于结构的冲量约减小为原来的1/3。将水背衬条件与气背衬条件相比，水背衬条件下作用于结构的总冲量远小于气背衬条件下作用于结构的总冲量，这是由于水背衬条件下，压力波透射到背衬水中，使得结构得到的总冲量很小，大部分能量会通过背衬水继续传播。从这可以得出，轻外壳不承受冲击波压力，冲击波压力透射到背衬水中，从而作用在耐压壳上。

1.2 敷设覆盖层圆板在冲击载荷下的响应

为求得敷设覆盖层圆板在冲击载荷作用下的响应，需要将覆盖层钢板等效为均匀圆板，求出等效刚度与等效泊松比，然后根据固支圆板振动方程求出圆板真空振动的各阶频率与振型，并假设附连水振动的各阶振型与圆板真空振动各阶振型相同，求出附加质量对圆板振动的各阶频率的修正量，最后取前4阶频率的振型作为响应函数，根据初始条件求出响应的振幅，即为敷设覆盖层圆板在冲击载荷作用下的响应。

1.2.1 等效刚度与等效泊松比

根据最小势能原理得到的等效理论[2–3]，等效泊松比νst与等效刚度Est为

1.2.2 固支边界条件下水中圆板的振动响应

为求水中圆板的振动响应，首先求出真空圆板的振动频率与振型，并假设附连水振动的各阶振型与圆板真空振动各阶振型相同，求出附加质量对圆板振动的各阶频率的修正，最后取前4阶频率的振型作为响应函数，根据初始条件求出响应的振幅。

由圆板振动理论，圆板真空振动方程为

其中m，n分别代表节径和节圆的个数。Amn、Cmn为由边界条件决定的模态振型常数。Jm、Im为第一类贝塞尔函数和修正贝塞尔函数。真空振动角频率为

考虑固支圆板，边界条件为

得到频率方程

模态振型常数关系可以由求出的λmn得出。

水的影响相当于对结构加上一个附加质量，使平板的振动频率降低。假设圆板在水中的模态振型与板在真空中模态振型相同，通过瑞利商估算板在水中振动频率

其中fL为圆板在水中的振动频率，fV为圆板在真空中振动的频率，βmn为附加质量因子。

Γmn为无量纲附加质量因子，见表1。如果圆板两面都是水，则Γmn乘以2。由此可以对真空频率进行修正。

板的响应为板各阶模态振型与时间项乘积的叠加。估算时，可取有限项，此处取4项。由于载荷对称，边界对称，所得的结果中节径为0，即m=0。此时变化n可以求得各个特征频率。

由于板响应时间与冲击波时间常数相比非常小，因此可以假设初始条件为

其中v0根据输入波等效冲量得出。此时由式(13)中第一个初始条件可得

设fLn为圆板在水中第n阶振动频率，则板的振动方程为

考虑圆板敷设覆盖层，需要求出敷设覆盖层圆板的振动频率。真空中圆板振动的频率由式(20)可化为

其中c为波在介质传播的波速。若有两层介质，覆盖层波速为c1，钢板波速为c2，则平均波速（即波穿过两层介质的速度）可用以下式计算

由此可以求得敷设覆盖层圆板真空振动频率。

无量纲附加质量因子Γmn在轴对称情况可以由表1得到[5]（此处为气背衬板，水背衬乘以2）。

表1 轴对称条件（m=0）下无量纲附加质量因子Γmn

则由式(16)可计算出βmn，代入式(15)可以得到敷设覆盖层圆板水中振动频率。

2 方法验证与结果讨论

为了验证方法的正确性，通过Abaqus建立敷设覆盖层圆板水下爆炸模型进行计算，并与估算方法的计算结果进行对比。介质物理几何参数如表2所示。

选取冲击载荷峰值压力p0为20 000 Pa，衰减常数θ为0.5 ms，以平面波加载圆板。不考虑空泡响应和气泡脉动的影响。

实例验证中采用气背衬边界。Abaqus中的有限元模型是轴对称的。覆盖层和圆板半径为1 m，水体半径为10 m。覆盖层和圆板为CAX4R单元，水体为ACAX4R单元。覆盖层和钢板半径方向单元数目100个/m，覆盖层和钢板厚度方向单元数目为2 000个/m。考虑厚度方向波的传播效应，厚度方向网格较多。水体单元划分为两部分，贴近水的单元数目为100个/m，远离水的采用bias划法，单元在接近圆板的位置密集，远离圆板位置稀疏。Abaqus中有限元网格划分见图3、图4、图5。

图3 Abaqus有限元整体模型网格划分

图4 Abaqus有限元模型湿表面网格划分

图5 Abaqus有限元模型结构网格划分

运用估算方法计算得到敷设覆盖层圆板在真空的前4阶振动频率，其与在水中计算得到的振动频率以及与Abaqus模态计算结果对比如表3所示。

从表中可以看出在真空中敷设覆盖层圆板的频率估算误差不大，而在水中敷设覆盖层圆板估算的频率中基频误差不大，而稍高频率误差较大，不过由于稍高频率在响应中所占比重不大，对结果影响不大。

表2 介质的物理几何参数

选取冲击载荷峰值压力p0为20 000 Pa，衰减常数θ为0.5 ms，圆板上加载表面平面波。理论计算方法求得湿表面瞬态压力与Abaqus仿真结果对比如图6所示。

图6 湿表面瞬态压力理论计算方法与有限元仿真方法所得结果对比

从图中可以看出，估算方法计算所得湿表面瞬态压力与Abaqus仿真结果吻合较好，有限元压力曲线的上下波动是由于有限元网格不够密集导致的数值误差造成的，不过误差不影响最终结果。可以预计，计算结果与仿真结果对时间积分的结果几乎相同，即初始输入估计较为准确。

图7所示为圆板位移响应理论计算位移与有限元计算位移在圆板中心点处的对比。

图7 圆板位移响应算法所计算位移与有限元所计算位移对比

从图中可以看出圆板位移响应预测的峰值与有限元计算所得位移几乎相同。由所取计算模态数量不足导致的响应结果差异对结果影响不大，而冲击响应中关注的就是压力峰值，所以结果预测可以达到预期的效果。

表3 敷设覆盖层圆板真空和水中计算振动频率与Abaqus计算结果对比

这里的计算考虑水下爆炸冲击波的影响，而如果考虑气泡脉动效应本方法也适用，将气泡脉动效应简化为压力波的输入，如果气泡第一次脉动周期远小于板第1阶振动周期，则加载总时间也很短，可运用冲击波在多层介质传播理论[1]计算出流固耦合面上的压力时间曲线，即可以算出作用于结构的总冲量，将其作用于结构；如果气泡第一脉动周期与板第1阶振动周期相差不大，但是冲击载荷较小，在结构响应不大条件下，运用冲击波在多层介质传播理论[1]计算出流固耦合面上的压力时间曲线后，将冲击波阶段和气泡脉动阶段压力曲线分别积分得到冲量，在t=0和t=t0时分别给定初始条件，同样可以计算结构的响应，这里设t0为气泡脉动压力作用结构的时刻；如果气泡第一脉动周期远大于板第1阶振动周期，即使冲击载荷较大，由于结构振动存在较大的衰减作用，求结构最大响应时可以忽略气泡脉动的影响。对于由结构运动产生的空泡效应，可设从计算得到流固耦合面上压力为负的时刻开始所有压力为0，直到气泡脉动影响到达为止。这样近似忽略了空泡闭合产生的再加载效应，使得近似结果比实际结果小。

3 结语

理论计算方法通过应用一维波在多层介质中传播理论对输入波进行估算，应用等效理论对双层结构进行等效，板水中振动频率计算中应用附加质量效应对板在真空中振动频率进行修正，对水下爆炸冲击载荷作用下的敷设覆盖层圆板的响应进行估算，得到的近似结果可以很好地预测最大位移和最大应力。

[1]金泽宇，殷彩玉，谌勇，等.一维波在水下多层介质中传播的时域解析解[J].振动与冲击，2014，33(13)：6-12.

[2]GONG S W,LAM K Y.Analysis of layered composite beam to underwater shock including structural damping and stiffness effects[J].Shock and Vibration,2013,9(6):283-291.

[3]GONG S W,LAM K Y.On attenuation of floating structure response to underwater shock[J].International Journal of Impact Engineering,2006,32(11):1857-1877.

[4]LAMB H.On the vibrations of an elastic plate in contact with water[C].Proceeding of the Royal Society(London),1920,98(690):205-216.

[5]AMABILI M,KWAK M K.Free vibrations of circular plates coupled with liquids:revising the Lamb problem[J],Journal of Fluids and Structures,1996,10(7):743-761.

[6]KWAK M K.Hydroelastic vibration of rectangular plates[J].Journal ofApplied Mechanics,1996,63:110-115.

[7]AMABILI M,FROSALI G,KWAK M K.Free vibrations of annular plates coupled with fluids[J].Journal ofSound and Vibration,1996,191(5):825-846.

[8]KWAK M K,KIM K C.Axisymmetric vibration of circular plates in contact with fluid[J].Journal of Sound and Vibration,1991,146(3):381-389.

[9]AMABILI M,DALPIAZ G.Vibrations of base plates in annular cylindrical tanks:theory and experiments[J].Journal of Sound and Vibration,1998,210(210):329-350.

[10]KOZLOVSKY Y.Vibration of plates in contact with viscous fluid:Extension of Lamb’s model[J].Journal of Sound and Vibration,2009,326(1-2):332-339.

[11]谌勇，华宏星，汪玉，等.超弹性夹芯覆盖层的水下爆炸防护性能[J].爆炸与冲击，2009，29(4)：395-400.

AnAnalytical Method for Response Prediction of Coated Circular Plates to Underwater Explosion

ZOU Chao1,CHEN Fa-xiang1,JIN Ze-yu2,CHEN Yong2
(1.Jiangnan Shipyard(Group)Co.Ltd.,Shanghai 201913,China;2.School of Mechanical Engineering,Shanghai Jiaotong University,Shanghai 200240,China)

An analytical method is proposed to calculate the response of the coated circular plates subjected to underwater explosion.There are two effects of coating on the response of the coated circular plate.One is the effect on the impact load,and the other is the effect on the response under the impact load.The analytical method employs the method of wave propagating through multilayer mediums to calculate the pressure on the wetted surface and integrate the pressure to obtain the impulse.Then,the equivalent parameters of the system of the coating and the steel plate are obtained by the homogenization process.The dynamic equations of the circular plate are established in the vacuum condition.The frequency of the circular plate is corrected by considering the additive mass of water.Finally,the response of the system is obtained according to the initial conditions.Comparison between the results obtained by the analytical method and the finite element method indicates that the analytical method can provide a good approximation of the displacement response for the circular plate.

vibration and wave;coating;circular plate;underwater explosion;wave propagating in multilayer medium;effective parameters;non-dimensional additive virtual mass increment factor

O383+.1；O383+.3；U674.7

：A

：10.3969/j.issn.1006-1355.2017.04.014

1006-1355(2017)04-0069-05+104

2017-03-29

邹超，男，重庆市北碚区人，高级工程师，研究方向为船舶动力学及抗冲性能研究。E-mail:storm5120@163.com