谭伟良

（1.中国科学院武汉物理与数学研究所 波谱与原子分子物理国家重点实验室，武汉 430071；2.中国科学院大学，北京 100049）

修正的ARMA模型在微悬臂系统辨识中的应用

谭伟良1,2

（1.中国科学院武汉物理与数学研究所 波谱与原子分子物理国家重点实验室，武汉 430071；2.中国科学院大学，北京 100049）

在力学显微镜和光力学的研究中，微悬臂是一种被广泛使用的微机械器件。为了了解微悬臂的模态信息，采用ARMA模型对微悬臂进行系统辨识和模态参数识别。针对观测噪声会使时间序列模型辨识精度变低的问题，研究如何将带有观测噪声的ARMA模型转化为无观测噪声的ARMA模型。得到微悬臂的ARMA模型后将其转化为连续系统的传递函数，再从传递函数中求出微悬臂的各模态参数。为了减小微悬臂对外力的延迟响应时间，根据系统辨识得到的模型，构造一个复原滤波器，微悬臂的位移信号通过这个复原滤波器后得到作用力信号。仿真及实验结果证明了所用的系统辨识、模态参数识别及信号复原方法的有效性。

振动与波；微悬臂；ARMA模型；系统辨识；模态参数识别；复原滤波器；信号复原

微悬臂器件不仅在应用领域如高精密测量（生物传感、力学显微镜等）被广泛应用[1]，在基础研究领域如在微纳光力学中研究宏观物体的量子效应等方面也受到广泛重视[2]。为了了解微悬臂的准确信息，有必要对微悬臂的模态参数进行识别。自回归滑动平均模型（ARMA模型）是一种精确、高分辨率的谱分析方法，是现代谱估计的常用模型，广泛用于系统辨识。使用ARMA模型进行系统辨识的条件是要求施加的激励是白噪声，考虑到微悬臂的物理模型，这个条件是可以满足的，当微悬臂没有受到外力作用时，一个固定点的随机起伏可以等效为热噪声等效力施加于微悬臂所产生的响应，而热噪声等效力的统计特性就是白噪声。在测量过程中，微悬臂测量点的位移信号会被观测噪声所污染。以往用ARMA模型进行系统辨识时，很少考虑到观测噪声的存在，而观测噪声会使辨识精度变低。为了消除观测噪声的不利影响，文中研究如何将有观测噪声的ARMA模型转化为无观测噪声的ARMA模型。

在力学显微镜的应用中，通常施加在悬臂的外力是正弦形式的，要求通过探测微悬臂的位移信号，估计外力的幅度和相位[3]。但由于微悬臂的品质因数过大，位移信号的幅度有一个逐渐变大的过程，时间足够长后，信号幅度才会稳定不变，所以需要等待位移信号的幅度稳定下来才能进行幅度和相位估计，这种微悬臂对外力的响应延迟现象制约了力学显微镜扫描速度的提高。通常减小悬臂动态响应时间的方法是对悬臂施加一个负反馈作用力[4]，通过减小微悬臂的品质因数和增大带宽来提高微悬臂响应速度，但这种方法实现麻烦且会减小悬臂的振动幅度。文中先用ARMA模型对悬臂进行系统辨识，然后根据所得模型估计模态参数并且构造一个复原滤波器。悬臂位移信号通过该滤波器输出的信号即为作用力信号，从而大大减小微悬臂对外力的延迟响应时间。

1 修正的ARMA模型

当微悬臂无外加作用力时，其测量点的随机起伏是由于白噪声激励而产生的，所以测量点的位移信号x(n)可表示为ARMA(Na,Nb)模型

w(n)为功率为白噪声激励，{ak}为自回归部分的系数，{bk}等于滑动平均部分的系数。实际上得到的观测信号y(n)是混有观测噪声v(n)的，假设v(n)是功率为的白噪声，那么有

取Nb=max(Nc,Nd)时，不难看出式(9)的一个解是

2 微悬臂的模态参数识别

对微悬臂进行ARMA模型系统辨识后，接下来要做的是估计微悬臂的模态参数。由式(1)可得微悬臂等效的系统函数为

对H(z)的分子和分母进行因式分解

用零极点匹配法[5]，将H(z)转化为连续情况时微悬臂的传递函数

对于微悬臂的第m个模态，其测量点的动力学方程为[6]

ωm和Qm分别是第m个模态的固有频率和品质因数，cm是一个常数，F(t)是作用力，那么相应的传递函数为

考虑系统辨识对象是微悬臂，不同于以往模态参数识别的参数是固有频率和阻尼比，文中模态参数识别的参数是固有频率和品质因数，但两者并没有本质区别，因为由固有频率和品质因数可以确定阻尼比。Gm(s)的极点为

比较式(15)和式(17)，可知式(17)右边第二项的每个求和项对应于一个品质因数大于0.5的模态。我们只分析G(s)中品质因数大于0.5的模态，由式(15)和式(17)可求得

3 信号复原

对微悬臂进行ARMA模型辨识得到微悬臂的系统函数为H(z)，我们接下来要用H(z)构造一个复原滤波器Hr(z)，微悬臂位移信号x(n)通过这个滤波器后得到施加在微悬臂的作用力信号，通过信号复原可大大减小微悬臂对外加力的响应时间。

当外力存在时，微悬臂位移信号x(n)可以用差分方程表示为

f(n)是施加在微悬臂的作用力，包括外力和热噪声等效力，注意到式(19)右边第二项的求和项是从k0开始的，而k0不一定等于0。当外力不存在时，f(n)是白噪声，令w(n)=βk0f(n-k0)，则

Fd(z)是fd(n)=f(n-k0)的z变换。使用ARMA系统辨识得到模型参数由于实际得到的是带噪位移信号y(n)，所以用y(n)代替x(n)，那么式(21)可写为

为了使复原滤波器稳定，要求Hr(z)的极点全都在单位圆内，但用式(10)求得的解不一定满足这个要求。如果Hr(z)的极点不都在单位圆内，那么是非最小相位系统，这个系统可以用一个最小相位系统Hmin(z)和一个全通系统Hap(z)级联而成[8]，即

由上式可直接得到

4 仿真及实验

用Matlab模拟一个具有3阶模态的系统，每1阶的模态参数分别是：ω1=2π×1 000 rad/s，Q1=500；ω2=2π×2 000 rad/s ，Q2=1 000 ；ω3=2π×5 000 rad/s，Q3=1 500。生成5 000点的白噪声，然后将白噪声输入到这个系统，再对输出信号加入功率不等的白色观测噪声，得到带噪输出信号，最后对带噪输出信号用修正的ARMA模型和未修正的ARMA模型进行系统辨识，得到系统函数，为了便于对比，对无观测噪声的输出信号也进行系统辨识。改变输出信号的信噪比得到的系统函数的频率响应曲线如图1所示。

图1 不同信噪比条件下得到的系统函数频率响应曲线

从图1可以看出，绿线与红线偏离程度很大，而蓝线与红线的大致重合，只是在中间的极小值附近有所偏离。随着信噪比的下降，绿线与红线偏离程度加大，蓝线与红线在共振峰附近基本重合，在中间的极小值附近偏离程度有所增加，这表明文中提出的修正ARMA模型具有很好的鲁棒性。信噪比为15 dB时，用修正的ARMA模型进行模态参数识别，结果如表1所示。

表1 信噪比为15 dB时模态参数的估计结果

可以看出相比品质因数，固有频率的估计误差更小，所有参数的估计误差不超过1.6%，估计效果很好。在表1中，在同样的信噪比下，用Hilbert-Huang变换[9]对上述系统做模态参数识别，不难看出用修正的ARMA模型得到估计结果的精度更高。

实验使用 480 μm×10 μm×0.8 μm 的单晶硅微悬臂，用光纤干涉仪采集无外力作用下微悬臂的带噪位移信号y(n)，信噪比为20 dB，采样率为108 kHz，信号长度为10 000点，用ARMA(20,19)模型A对信号进行拟合，并加以修正，转化为无观测噪声情况下的ARMA模型B。图2为模型B的频率响应曲线。用弹性力学来估算真实模态的大致固有频率[10]，其在0～54 kHz范围内，被标号的共振峰与估算的固有频率最接近，其他共振峰不是真实模态，是由扰动噪声造成的，用前文所述的方法估计四个模态的模态参数，它们的理论估计值和修正的ARMA模型估计值列于表2。

用模型B构造复原滤波器，将悬臂位移信号y(n)通过该滤波器，输出信号为r(n)，再用ARMA(20,19)模型C对r(n)进行拟合，最后根据模型C绘制r(n)的功率谱，示于图3。

图2 微悬臂系统函数的频率响应曲线

表2 4个共振峰对应的模态参数理论估计值和修正的ARMA模型估计值

图3 恢复信号的功率谱

可以看出r(n)的功率谱变化幅度不大，表明r(n)是白噪声，而微悬臂的激励信号也是白噪声，说明复原滤波器能达到复原信号的目的。

5 结语

针对观测噪声会使时间序列模型的辨识精度变低的问题，提出修正的ARMA模型，仿真结果表明这个模型具有很好的鲁棒性。提出的微悬臂ARMA模型系统辨识方法能够很好地拟合悬臂位移信号，微悬臂的ARMA模型等效频率响应曲线能很清晰地显示出尖峰的存在。微悬臂位移信号通过复原滤波器后输出信号是白噪声，说明复原滤波能在一定的带宽范围内修复悬臂对作用力信号造成的频率失真作用，复原信号效果良好。提出的模态参数估计方法能准确、有效计算出悬臂模态参数，但这个方法亦有不足之处，即并非每一个模态都会在悬臂的幅频曲线中对应于一个明显的尖峰，要结合幅频曲线分析各个模态的重要性。

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Application of ModifiedARMAModel in System Identification for Micro-cantilevers

TAN Wei-liang1,2
(1.State Laboratory of Magnetic Resonance andAtomic and Molecular Physics,Wuhan Institute of Physics and Mathematics,ChineseAcademy of Sciences,Wuhan 430071,China;2.University of ChineseAcademy of Sciences,Beijing 100049,China)

Micro-cantilever is a kind of micromechanical device which is widely used in the research of force microscope and optomechanics.In order to learn the modal information of micro-cantilevers,the ARMA model is employed for system identification and modal parameters identification of the micro-cantilevers.Since observing noise may decrease the identification accuracy of the time series model,the method of converting the ARMA model with observed noise to the ARMA model without observed noise is studied.After micro-cantilever’s ARMA model is obtained,this model is converted to a transfer function of the continual system.Then,the micro-cantilever’s modal parameters are calculated from the transfer function.In order to decrease the time delay of the micro-cantilever response to external force,a recovery filter is constructed on the basis of the model obtained by system identification.The applied force signal can be obtained by inputting displacement signal into the recovery filter.Simulation result and experimental result verify the effectiveness of the system identification,the modal parameter identification and the signal recovery method presented in this paper.

vibration and wave;micro-cantilever;ARMAmodel;system identification;modal parameters identification;recovery filter;signal recovery

O321

：A

：10.3969/j.issn.1006-1355.2017.04.011

1006-1355(2017)04-0052-05

2017-01-19

谭伟良（1990－），男，硕士研究生，南宁市人，主要从事微纳光力学方面的研究工作。E-mail:tanweil@163.com