衡 星，朱 翔，李天匀，王 迪

（华中科技大学 船舶与海洋工程学院，武汉 430074）

含裂纹功能梯度材料梁结构的振动功率流特性分析

衡 星，朱 翔，李天匀，王 迪

（华中科技大学 船舶与海洋工程学院，武汉 430074）

功能梯度材料（FGM）梁在工程中应用日益广泛，而梁中裂纹的存在改变了局部刚度等特性，使得功能梯度材料梁的振动和波传播特性发生改变。以含有张开型裂纹的功能梯度梁为对象分析其波传播和振动功率流特性。利用转动弹簧模型模拟裂纹，给出由裂纹引起的局部柔度表达式。建立无限长FGM欧拉梁结构的动力学方程，采用波动法结合梁的连续条件计算得到FGM欧拉梁的振动特性，对无缺陷梁和裂纹梁的输入功率流和传播功率流进行分析。讨论了材料梯度指数、激励频率、裂纹深度和裂纹位置等信息与输入功率流、传播功率流之间的关系,为基于振动功率流的裂纹FGM梁的损伤识别提供理论基础。

振动与波；功能梯度材料梁；裂纹；转动弹簧；振动功率流

功能梯度材料（FGM）由是两种（或多种）性能不同的材料通过连续的改变而组成的一种新型材料，材料的性能沿着厚度方向连续缓慢变化，它是一种非均质的复合材料[1]，自功能梯度材料这一概念提出之后，功能梯度材料在制备、设计、应用等方面受到广泛关注。

功能梯度材料结构中裂纹的存在将会影响结构的刚度和阻尼等特性，并因此影响结构的振动特性。梁结构是工程中常见的结构，近些年来许多学者对含有裂纹FGM梁的振动特性进行了分析。Yang对含有裂纹的功能梯度梁结构进行自由振动分析和屈曲分析，利用欧拉梁理论和转动弹簧模型，分别对两端固支、两端简支以及一端固支、一端简支的含裂纹FGM梁进行了数值分析，研究裂纹数量、裂纹位置、材料属性、梁的细长比和支撑边界对梁弯曲振动和屈曲的影响[2]。Yu利用p型有限单元法（p-FEM）对含裂纹梁结构进行了振动分析并进行了裂纹识别研究[3]。Aydin对含任意数量裂纹的FGM梁结构自由振动进行了分析计算[4]。Kitipornchai对含裂纹功能梯度Timoshenko梁结构进行非线性振动分析[5]。Da对功能梯度材料梁进行自由振动和强迫振动分析[6]。

振动功率流方法从能量角度出发，最早用于振动的评价及振动源和振动路径的识别。严济宽在文献[7]中给出在简谐激励情况下功率流的表达式。近些年来，振动功率流方法也被用于损伤结构的振动分析和损伤识别。Li通过振动功率流方法研究了含裂纹的无限长欧拉梁结构的振动特性[8]。Zhu对含裂纹的无限长Timoshenko梁的振动功率流特性进行研究，讨论了裂纹位置、裂纹深度、激励频率与输入功率流和传播功率流之间的关系，并利用振动功率流方法对裂纹梁结构进行损伤识别[9]。Huh利用振动功率流方法对裂纹梁结构进行数值分析计算，随后利用振动功率流原理设计了一套实验方法对裂纹梁进行分析并进行裂纹识别[10]。但是采用振动功率流方法分析含有裂纹的功能梯度材料梁的振动特性的文献尚未见到。

文中基于振动功率流方法，对含裂纹的无限长FGM欧拉梁进行振动特性计算和分析。首先利用转动弹簧模型对裂纹进行模拟，采用经典梁理论建立无限长FGM欧拉梁结构的动力学方程，利用波动法计算得出无限长FGM欧拉梁的振动特性。随后分析材料梯度指数、激励频率、裂纹深度和裂纹位置对输入功率流和传播功率流之间的影响。

1 FGM梁理论模型

考虑一厚度为h，宽度为b的矩形截面FGM欧拉梁，如图1所示（先不考虑梁中的裂纹），x为梁的长度方向，z为梁的厚度方向，在x=0位置施加一力F=F0eiωt。FGM材料属性沿着梁截面厚度方向以指数形式变化。材料的杨氏模量E,密度ρ和剪切模量ν表达形式如下[2]

其中E0、ν0和ρ0是梁中面（z=0）处的弹性模量、剪切模量和密度值。E1和E2分别为梁上表面和下表面的弹性模量。β=h-1ln(E2/E1)是一个表示材料梯度变化的常数。由于泊松比μ对裂纹梁的应力强度因子（SIF）影响有限，故认为泊松比为常数[11]。

图1 含裂纹的无限长FGM梁模型

根据Kirchhoff-Love理论，在梁中任一点位置处的轴向位移和横向位移可表示为

其中u(x,t)和w(x,t)分别为梁截面中心点的轴向位移和横向位移。对于平面应变问题，可以得到正应力N，、弯矩M和剪力Q[2,4]。

根据上述表达式，可以得到梁结构的振动微分方程

2 完善梁的弯曲振动分析

考虑梁的简谐振动，轴向位移和横向位移可表示为

其中ω为圆频率，为轴向位移，W(x)为横向位移。

将式（5）和式（6）代入式（4），可以得到梁的横向振动解为

梁的轴向位移解可表示为

其中A、B、C、D1、g0是方程的系数，这些系数可以通过梁的边界条件和连续性条件得到。

对于完善梁结构，力的作用点位于x=0处，在力两端，梁左右对称，g1=0，g0=0。仅考虑沿着x轴正向传播的波，则B=D=0，那么振动解形式可以简化为[8–9]

现在x=0处施加一力F=F0eiωt，则连续条件可以写为

根据以上表达式可以求解出方程的系数A和C，继而可以得到完善无限长FGM欧拉梁的振动特性。

3 含有张开裂纹的FGM梁的弯曲振动分析

3.1 裂纹梁模型

现有一矩形截面梁，在梁上表面中含有一表面裂纹，裂纹距离坐标x=0处的距离为c，裂纹深度为a。如图1所示。

文献[12]推出在弯矩、轴力、剪力和扭矩作用下损伤梁单元的柔度矩阵，并对损伤悬臂梁结构进行弯曲振动分析，发现损伤引起的附加柔度矩阵中，弯矩引起的附加项占主导地位，因此可认为弯曲项对结构的动态响应产生作用，可以忽略其它载荷的影响。根据文献[2]和[13–14]中对裂纹的处理方法，并基于模拟裂纹时普遍采用的假定：

（1）假定梁的振动满足小变形理论并处于弹性范围之内；

（2）裂纹面垂直于梁上表面，并保持张开；

将裂纹模拟成一个无质量无长度的虚拟转动弹簧，裂纹两端的梁单元通过该弹簧连接。其裂纹截面处的弯曲刚度KT可以由柔度G表示为

根据断裂力学理论，由于裂纹的存在会产生附加的应变能

其中KⅠ是裂纹张开状态下的应力强度因子，可以表示为

其中σ0=6M/bh2，M为弯矩，b、h分别是梁宽度和厚度，F是关于E2/E1和a/h的函数。令则有[5]

由裂纹引起的局部柔度G可表示为

从而可以得到不同参数下矩形截面梁的局部柔度

3.2 裂纹梁的弯曲振动计算

对于一无限长梁，裂纹位置在x=c处，在坐标原点x=0处施加力F=F0eiωt，这样可以将整个梁结构分成三部分考虑：

在x≤0的半无限区域，仅考虑沿着负向传播的波，无反射波，振动解方程为

对于轴向位移，由于无限远处轴向位移不能无限大，故g1=0，故轴向位移可表示为

在0≤x≤c中间区域，由于裂纹的存在，弯曲波在裂纹处将产生反射和透射，振动解方程为

其轴向位移可表示为

在x≥c的半无限区域，仅考虑沿着正向传播的波，无反射波，振动解方程为

其轴向位移可表示为

在x=0处，考虑以下连续性条件

在裂纹位置x=c处考虑以下连续性条件

这里有12个方程，共有12个未知数，分别为B1、D1、A2、B2、C2、D2、A3、C3、g10、g2、g20、g30，那么可以求解出这12个未知系数。从而可以得到含裂纹的无限长FGM欧拉梁的弯曲振动特性。

4 振动功率流分析

振动功率流同时考虑传递到结构上的速度和力两个量值。对于振动分析来讲，考虑按照时间平均的功率流比瞬时功率流重要的多。则振动功率流可表示为[7]

如果力和速度作简谐变化，则振动功率流表示为

式中Re表示取实部运算，符号*表示取共轭复数。对于FGM梁结构，当梁受到谐波激励作用时，结构中的输入功率流不断向远场传播，并有V=iωW，则输入功率流可表示为

当能量输入到梁结构中后，能量会沿着梁正向和负向传播。现考虑梁的弯曲振动，梁中内力是弯矩、剪力和轴力。因此梁的传播功率流是弯矩传播的功率流、剪力传播的功率流和轴力传播的功率流之和

5 算例分析

考虑一无限长FGM欧拉矩形截面梁，梁截面高度h=0.05 m，其上表面是纯铝材料，铝的杨氏模量E1=70 GPa，泊松比μ1=0.33，密度ρ1=2 780 kg/m3。下表面是陶瓷材料，其材料参数可根据具体的材料梯度β来定。梁上有一裂纹，裂纹的深度是a,裂纹距离原点的距离是c，x=0处有一作用力F。

5.1 完善FGM梁的输入功率流

图2给出了不同材料梯度下完善梁的输入功率流随频率变化曲线。其横坐标是激励的频率，纵坐标是输入功率流输入功率流计算是在各个频率点下分别进行计算得到的，是不同频率下的稳态激励的计算结果。从图中可以看出，完善梁的输入功率流都随着频率的增大而呈现总体下降趋势。当频率一定时，材料梯度指数越大，其输入功率流数值相对越低。

当E2/E1=1时，FGM梁转化为普通的均匀材料梁，与文献[8]中输入功率流随频率变化曲线变化规律一致，也验证了文中所用计算方法的准确性。

5.2 裂纹FGM梁的输入功率流

图3－图4分别给出在裂纹深度保持不变情况下，不同材料梯度指数对应的输入功率流和裂纹位置之间的关系。

图2 完善FGM梁输入功率流曲线

图3 裂纹FGM梁输入功率流曲线(E2/E1=0.2，a/h=0.4)

图4 裂纹FGM梁输入功率流曲线（E2/E1=1，a/h=0.4）

从图中可以看到，裂纹梁的输入功率流曲线都围绕着完善梁的输入功率流曲线上线波动；当裂纹深度保持不变时，裂纹位置距离激励点越远，裂纹梁输入功率流曲线波动越激烈。不同材料梯度指数下对应的曲线变化趋势相似，但是波动幅度有差别。

图5－图6给出了在裂纹位置保持不变、不同材料梯度指数条件下对应的输入功率流和裂纹深度之间的关系。从图中可以看到，裂纹梁的输入功率流曲线都围绕着完善梁的输入功率流曲线上线波动；当裂纹位置保持不变时，裂纹深度越大，裂纹梁输入功率流曲线波动越激烈，因为裂纹深度越大，局部刚度降低越多，因此功率流变化越明显。不同材料梯度下对应的曲线变化趋势相似，但是波动幅度有差别。

图7给出了在相同裂纹深度和裂纹位置条件下，不同材料梯度指数和输入功率流之间的关系。

图5 裂纹FGM梁输入功率流曲线(E2/E1=0.2，c/h=4)

图6 裂纹FGM梁输入功率流曲线（E2/E1=1，c/h=4）

图7 裂纹FGM梁输入功率流曲线（a/h=0.4，c/h=8）

从图中可以看出，由于裂纹的存在，三种梯度指数条件下曲线都呈现波动变化，呈现整体下降趋势，从数值上对比可见梯度指数大的裂纹梁输入功率流整体较小，且随频率波动幅度也较小。这是由于梯度指数大的梁弯曲刚度大，因此输入功率流较小，这和完善梁的输入功率类似。梯度指数大的曲线波动幅度小是由于模型中假设裂纹在上表面，梯度指数大则梁的下表面弹性模量大，对截面整体刚度的贡献大，此时上表面存在的裂纹对梁的截面刚度影响就会偏小，因此对输入功率流的影响也较小。

图8为在单一激励频率下，改变裂纹的深度，以裂纹位置为横坐标，输入功率流为纵坐标所得的曲线。在这里保持材料梯度指数E2/E1=0.2不变。从图中可以看到完善梁的输入功率流曲线是一条直线，裂纹梁的输入功率流曲线呈类似正弦曲线变化。不同裂纹深度下的曲线变化一致，但是裂纹深度越大，曲线波动幅值越大。

图8 裂纹FGM梁输入功率流曲线（f=80 Hz）

图9为单一频率条件下，裂纹深度不变时，不同材料梯度对应下的裂纹梁输入功率流随裂纹位置变化的曲线。从图中看出不同材料梯度下，输入功率流曲线都成类似正弦曲线变化，但是它们的输入功率流大小和变化幅度不同。材料梯度大的裂纹梁输入功率流较小，且波动幅度较小。

图9 裂纹FGM梁输入功率流曲线（a/h=0.2，f=80 Hz）

图10为在保持裂纹深度和材料梯度指数不变情况下，不同激励频率对应下的输入功率流随裂纹位置变化曲线。从图中可以看到不同频率下的输入功率流曲线呈类似正弦曲线变化，频率越高曲线波动越显著，说明在高频激励下，弯曲波长更短，因此输入功率流对裂纹位置变化更敏感。

现对比分析图8－图10中梁的输入功率流随裂纹位置变化的曲线。由于在激励点和裂纹之间有正向入射波和反向反射波存在，波的叠加效应会使得当裂纹在某一位置时，在原点的振动加强，输入功率增大，而裂纹在另一位置时，入射波和反射波叠加使得原点振动减弱，输入功率下降。因此图8－图10均会出现随裂纹位置改变，输入功率流呈现周期变化的情况。对于图8，由于裂纹位置和材料梯度不变，梁的弯曲波数并未变化，仅仅改变裂纹深度只改变了梁中入射波和反射波的波幅，因此图中3条曲线波动的波长相等。而对于图9，由于材料梯度指数改变，梁弯曲波波长发生变化，因此图9中输入功率流随裂纹位置的变化规律也不相同，曲线的波峰与波谷分布也发生变化。对于图10中当频率变化时，梁的弯曲波长也不一致，因此图中曲线的波长也会发生变化，从而也会对曲线的波峰与波谷分布产生影响。

图10 裂纹FGM梁输入功率流曲线(E2/E1=0.2，a/h=0.2)

5.3 裂纹梁的传播功率流计算

现在对梁的传播功率流进行计算，以传播功率流与输入功率流的比值Ptr/Pin为参考指标。图11和图12为在某一材料梯度指数下（E2/E1=0.2），裂纹位置和裂纹深度变化与参考指标之间的关系。

图11 裂纹FGM梁传播功率流曲线（a/h=0.4）

计算表明：完善梁结构的Ptr/Pin=0.5，不随激励频率的变化而变化。这是由于对于无阻尼完善梁结构，输入功率向激励点两侧传播，传播功率流的大小不随距离的变化而变化。对于裂纹梁，由于波在裂纹处有反射，激励点两侧的传播功率流不再相等，不等于输入功率流的一半。图11表明保持裂纹深度一定，在不同裂纹位置条件下，参考指标曲线随着频率变化而发生波动，裂纹位置距离激励点越远，曲线波动的频次越高。图12表明保持裂纹位置一定时，改变裂纹的深度，裂纹深度越大，传播功率流曲线波动幅值越大。

图12 裂纹FGM梁传播功率流曲线（c/h=8）

图13为在裂纹位置和裂纹深度保持不变情况下，不同的材料梯度指数与参考指标Ptr/Pin之间的关系。

图13 裂纹FGM梁传播功率流曲线（a/h=0.4，c/h=8）

不同的材料梯度下，参考指标曲线的变化趋势相似，频率越高波动幅度越大。材料梯度指数对传播功率流的影响也不相同，材料梯度指数小的梁传播功率流变化更明显，因为裂纹在上表面，梯度指数小的梁弯曲刚度受裂纹的影响更为明显，从而传播功率流也更明显。

6 结语

利用经典的转动弹簧模型对裂纹进行模拟分析，并根据断裂力学理论计算得到裂纹处的局部柔度。建立无限长FGM欧拉梁结构的动力学方程，分析无限长FGM欧拉梁的振动特性。通过对FGM欧拉梁结构的输入功率流和传播功率流进行计算分析可知：

（1）裂纹的存在改变梁结构中波传播和振动特性。

（2）材料梯度指数、激励频率、裂纹深度和裂纹位置等参数对梁的输入功率流和传播功率流都会产生影响。

（3）利用材料梯度指数、激励频率、裂纹深度和裂纹位置等参数与振动功率流之间的关系，可以为裂纹FGM梁结构裂纹识别提供一定理论基础。

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Vibrational Power FlowAnalysis of the Functionally Graded Beam with an Open Crack

HENG Xing,ZHU Xiang,LI Tian-yun,WANG Di
(School of NavalArchitecture and Ocean Engineering,Huazhong University of Science and Technology,Wuhan 430074,China)

Functionally graded material(FGM)beams are more and more widely used in engineering.But,the existence of cracks in the beams will affect its local stiffness and some other properties and then change its vibration and wave propagation characteristics.In this paper,the wave propagation and power flow of a FGM beam with an open crack are studied.The flexibility of the crack is deduced by using the rotational spring model.The governing differential equations of the infinitely long functionally graded beam are established and its vibration characteristics are obtained by using the wave propagation method with the continuity conditions.The input power flow and transmission power flow of the intact and the cracked beams are calculated.The influences of material gradient,excitation frequency,crack location and crack size on the input power flow and transmission power flow are studied.This work provides the basis for future study on the damage identification of FGM structures.

vibration and wave;functionally graded material(FGM)beam;crack;rotational spring model;vibrational power flow

TU311.3；TB535

：A

：10.3969/j.issn.1006-1355.2017.04.009

1006-1355(2017)04-0040-07

2017-01-13

国家自然科学基金资助项目(51479079)

衡星（1991－），男，河南省洛阳市人，硕士研究生，研究方向为结构振动与噪声控制。

E-mail:h_xhengxing@hust.edu.cn

朱翔（1980－），男，湖北省十堰市人，博士，副教授。

E-mail:zhuxiang@hust.edu.cn