陈奎孚

(中国农业大学理学院，北京 100083)

转动弹簧的微变形分析及其应用

陈奎孚

(中国农业大学理学院，北京 100083)

教材中经典的弹簧振子的弹簧不会转动，但工程上弹簧轴线会转动的情形比比皆是。弹簧轴线转动会造成几何非线性，但是围绕平衡位置的微幅振动仍是振动学习的最重要任务。本文先用解析法导出了弹簧微变形的近似表达式，再利用直观的几何关系验证这一表达式，而后者易于理解和记忆。利用3个例题对表达式的威力进行了验证。

振动；微变形；微幅振动；线性振动；几何法；解析法

图1(a)所示的模型是物理教材和振动教材使用频率最高的振动系统[1,2]。该系统在振动过程中，弹簧轴线无转动，因而弹簧变形与系统的描述坐标之间的关系就很简单。然而稍微复杂一点的工程问题中，弹簧轴线就可能有转动，比如图1(b)和图1(c)所示情形，因此工程专业的学生不能止步于教材中的经典例题。此外，一些有趣的特殊振动系统也要考虑弹簧轴线转动[3-5]。

图1 振动系统示例

无论采用分离体的方法，还是采用能量法，振动分析都需要确定弹簧的变形量。但对于弹簧轴有转动的情形，变形量确定因几何复杂性而对学生有挑战性。本来这是技术问题，但是若该技术掌握不好，不仅导致分析速度的下降，更因分析的困难和近似因素取舍的纠结会使学生有挫折感，从而影响学生学习热情和信心。

弹簧轴有转动的情形一般是非线性的，但振动分析起码要得到工程最关心的固有频率, 此时就要研究振动系统围绕平衡位置的微幅振动，这就退化为线性振动。……