张海玲

摘 要 对于每个接触数学的人来说都少不了对实数的认识，可以说实数与我们的生活息息相关，从小学到初高中，我们所学的数学知识基本上都是在实数的基础上建立起来的，而数学的发展也离不开实数理论的支撑，可以肯定的是对实数的研究是我们在数学中另辟蹊径的一种有效方法，说到实数的完备性，很多人可能会首先想到和实数完备性有关的六个基本定理，即确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、以及cauchy收敛准则，虽然这六个定理是相互等价的，但我们可以发现其性质之间的转化和联系，那么相对于n维欧氏空间而言，是否它也具备一定的完备性；以及相对于实数的这六条基本性质而言，它们在欧氏空间以及其他像具有拓扑的空间又将有何种特质；以及如何将它们加以推广，这是我们所要进行思考和研究的问题。由于实数完备性定理的证明在数学分析中给出了相应的解答，在此我们就其证明过程则不做过多解释，而将重点放在实数完备性定理对我们的启发以及猜想上。

关键词 确界原理 单调有界定理 区间套定理 有限覆盖定理 聚点定理 cauchy收敛准则

中图分类号：Ol41.2 文献标识码：A

1确界原理

我们知道对于一维欧氏空间而言，它里面的元素也就是我们的实数，实数的完备性定理的第一条就是确界原理，即为有上下界的数集必有上下确界，那么我们在二维欧式空间中来看……