覃淋

【摘 要】 数学教材中运用数学史料，是HPM研究的一个重要方面，教材中运用数学史的方式分为点缀式、附加式、复制式、顺应式、重构式五种.运用上述分类方式，对台湾初中数学教材中的数学史料进行考察，研究发现：教材中数学史料的运用以点缀式、附加式等显性呈现方式为主，将数学史有机融入数学教材的隐性方式较少.最后，对台湾初中数学教材中运用数学史料的水平进行量化处理，得到台湾教材数学史料的运用水平为2.73，在研究的教材中，数学2运用数学史料的水平最高.

【关键词】 台湾；初中数学教材；数学史；运用水平1 引言

在数学教材中融入数学史料，是HPM研究的一个重要方面.就数学教材的编写而言，考察任意一套教材，可以发现教材编写者都力图在教材中融入数学史料.自1972年在第二届国际数学教育大会上成立数学史与数学教学关系国际研究小组（International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics，简称HPM）后，人们已逐渐认识到数学史在数学教育中扮演着重要的作用，数学史的教育价值受到越来越多的数学教育工作者的关注，教材中数学史料的呈现方式也经历了较大的变化.

在数学教材中运用数学史料，有较为悠久的历史.早在20世纪初的一些数学教材中，已经开始在数学教材中运用数学史材料，只是大多以数学故事的形式出现，与教学内容关系不是特别密切.一般而言，教材中数学史料的呈现方式可分为显性和隐性两大类[11].如数学家画像、数学家的传记、数学概念起源的介绍、数学符号的历史、数学家的故事、历史数学名题等，都属于显性方式.显性数学史料主要是用于引起学生的学习兴趣，激发学生的学习动机.隐性方式则是根据实际教学，对数学史料进行改编、重构，剔除其中无关紧要的细枝末节，以润物无声的方式体现数学史料提供的思想和方法等，所谓的“发生教学法”就属于隐性方式.在隐性呈现方式中，数学史料的表现并不十分明显，很多时候隐藏于一些数学概念、数学命题或例题习题之中的，按数学知识发生发展的顺序展现相关数学内容，让学生在无意识中经历数学的“再创造”的过程.

关于教材中数学史料运用方式的分类，到目前为止，得到大家广泛认可的分类方式还没有.本文采用华东师大汪晓勤教授建立的分析框架[1]，见表1.该分类框架是按数学史与数学知识的关联程度，将教材中运用数学史料的方式分为5类：点缀式、附加式、复制式、顺应式、重构式.很显然，前两种方式是独立于教学内容的，其是否存在对教学的影响不大，后三种则与教材正文内容相关.若从数学材料中史料的呈现方式来看，前3种属于显性，后2种属于隐性方式.

2 台湾初中数学教材中的数学史

按表1所列的分类方式，我们对台湾初中数学教材数学第1-3册[2-7]中的数学史料进行考察.

（1）点缀式

点缀式的数学史料一般出现在各章的章头，主要包括一些与教材内容相关的数学家的肖像、与教学主题相关的图案.和台湾高中数学教材不同的是，初中数学教材中没有涉及任何数学家的肖像，而主要在章头有一些相关的数学图案来引入相关数学主题.

《数学1（上）》“整数的运算”一章的章头有一幅雪地里的北极熊的图片，以此引入负数这一教学主题.在每册教材中，每章开头几乎都是如此设計的，通过相关的图案引入相关主题.下表给出了6本教材中出现的部分数学图案内容及涉及的相关教学主题.

教材中点缀式的数学史料，一般而言，是引出相关主题，或是反映数学内容的实际用途.可以用于激发学生的学习兴趣，但与教材正文内容无直接的依存关系，其存在与否，对教学的影响并不是很大.

（2） 附加式

教材中附加式的数学史料主要出现在教材正文内容的开始、例题和习题，或是教材正文后的阅读材料.

台湾初中数学教材中在要介绍某一主题时，会介绍相关内容的历史起源，或是在课后以补充材料的形式出现.如《数学1（上）》“整数的运算”一章的阅读材料中，“数学好好玩”栏目介绍了负数的历史，“公元前4世纪，中国数学家已经了解负数的概念；公元1世纪，《九章算术》中记载了正负数的概念及其运算规则；公元628年，印度人才开始使用负数；欧洲人直到16-17世纪才理解负数.”同章“指数律”一节中，介绍了国际象棋发明的故事；同册“一元一次方程式”一章中的“数学好好玩”栏目介绍了丢番图及其著作《算术》.

下表（表3）给出了6本教材中部分附加式的数学史料例子.

由表3可以看出，附加式数学史料一般介绍有关内容的历史背景，或是给出相关内容的历史发展脉络，或是在阅读材料中直接提供历史上的数学问题.

（3） 复制式

复制式数学史料主要出现于正文开头或是例题、习题中.

《数学1（上）》中，“因数与倍数”一节中，介绍了古希腊数学家埃拉托尼斯（Eratosthenes，公元前276—194）的“筛法”，同时利用百以内的整数介绍了利用“筛法”选出百以内质数的具体步骤.

《数学2（下）》“尺规作图”一节中，直接利用了《几何原本》中的许多作图问题.如，作一线段使其等于已知线段（例1），作一角使其等于已知角（例3），作已知角的角平分线（例6），过线上一点作已知直线的垂线（例7），过直线上一点作已知直线的垂线（例8）.这些问题都是《几何原本》中的命题[8]，其中例1是《几何原本》中的命题2：由一个所给定点作一线段等于已知线段.例6是《几何原本》中的命题9，例7是命题11：由给定的直线上一已知点作一直线使其与已知直线成直角；例8是命题12.

（4） 顺应式

顺应式数学史料主要出现在教材正文介绍相关方法的内容、例题和习题中.

《数学1（上）》“一元一次方程”一章中，有如下的问题：“已知父女年龄相差32岁，某日父亲心算二人的年龄关系后，跟女儿说：目前我的年龄恰好是你的年龄的4倍.请问父女二人现在各多少岁？”这一问题改编自德·摩根《数学学习与困难》（1831）中的一个例子：“父亲56岁，儿子29岁，请问什么时候父亲年龄是儿子的2倍？”

《数学1（下）》“二元一次方程组”一章中有一个例题：“已知小图和小龟相距300米.若它们各以固定速率同时相向而行，则10分钟后相遇；若同时向右而行，则15分钟后相遇.那么它们的速度各为多少？”这是一道相遇和追及问题，改编自意大利印刷最早的算术课本《Treviso Arithmetic》（1478）中的问题：“罗马主教派一名信使到威尼斯，令其7天到达.威尼斯教会也派一名信使到罗马，令其9天到达，两地相距250英里.若两个信使同时出发，问他们几天后相遇，各走了多少英里？”[9]此外，其它一些数学著作中也有类似的问题，如巴克沙利手稿里有一追及问题：甲一日可行5里，当他走了7天后，乙以每日9里的速度追赶，问多少天后乙可以追上甲？

同节“自我测评”中有一习题：“小丑鱼尼莫第一天上学，在学校认识了很多好朋友.回家后它告诉爸爸：我们班上的章鱼同学和海龟同学共有11只，它们共有68只脚.你能算出班上章鱼和海龟各有几只吗？”很显然此题是改编自著名的“鸡兔同笼”问题：今有鸡、兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡、兔各几何？

《数学2（上）》“乘法公式与多项式”一章中，在介绍和的平方公式、差的平方公式、平方差公式時，都利用了几何图形来“证明”的方法.以和的平方公式为例，教材中利用一个边长为101 cm的大正方形，将其分解为：一个小正方形（边长为1 cm）、2个长方形（长为100 cm，宽为1 cm）、一个边长为100 cm的次大正方形.那么由图可以得出：大正方形的面积=次大正方形面积+2个长方形的面积+小正方形面积，此即1012=（100+1）2=1002+2×100×1+12.在此基础上，推广到一般的情况（a+b），也可以得到（a+b）2=a2+2ab+b2.

从“符号代数”的历史发展来看，其发展顺序大致经历了“言辞代数——缩略代数——符号代数”三个阶段，最远可以追溯到古巴比伦，巴比伦人利用这类方法去解二次方程.欧几里得在其著作《几何原本》中也利用“几何代数”的方法证明了许多代数学的公式，而后伊斯兰数学家也使用了同样的方法来解一元二次方程.

同册“平方根与毕氏定理”一章中，有一个例题，“某天下午突然发生了剧烈的地震，一根长1.3米的横梁从天花板上掉了下来，正好靠在墙上.（1）此时墙角和横梁的尾端距离为0.5米，则横梁顶端距离墙角多少米？（2）再经过一次余震后，横梁下滑顶住了楼梯，则横梁尾端滑动了多少米？”例题后还有一个类似的练习.此题改编自古巴比伦泥版BM85196中的一个问题：“长30尺的梯子靠墙直立，当顶端下移6尺时，底端距墙多少尺？”[10]

同章还利用毕达哥拉斯螺线设置了例题和习题，习题如下：“如图1，在数轴上O为原点，A点坐标为1.在直角三角形OAB、OBC、OCD、ODE中，AB=BC=CD=DE=1.则（1）OE=？（2）利用圆规，在图1中找到E′点图1使E′的坐标为-5.”此外，在《数学2（下）》中还利用此设置了一道习题，只是角的度数变了，由原来的等腰直角三角形变成了角度为30°、60°的直角三角形.

《数学3（上）》“相似三角形的应用”一节中有一个测量大树高度的例题，此题改编自古希腊数学家希帕蒂亚测量金字塔高度的问题.同节还有一个测量河宽的问题，是改编自泰勒斯测量海船距离的问题.

（5） 重构式

重构式数学史料一般出现于某个概念或方法的引入中，或是隐含于某个主题的整个脉络之中.这种运用数学史料的方式，突破了“为历史而历史”的浅层次使用，是融历史于无形，在无形之中向学生渗透了数学史料体现的数学思想和方法.但是，这种处理数学史料的方式，对教材编写者和教师都有较高的要求.因此，教材中的重构式数学史料比较少.

从以上的分析可以看出，台湾初中数学教材中涉及的数学史内容仅有55处，平均每本教材不到10处，以“顺应式”、“附加式”、“点缀式”为主.从具体史料内容来看，选材较为偏向我国古代的数学史，内容比较单一，数学史料的介绍也比较简洁，一般是几句话带过.在内容上浅尝辄止，很难恢复数学历史的原貌和展现数学思维发生、发展的过程，使用不当甚至会造成学生对数学发展过程的片面理解.整体来说，教材中数学史料内容比较贫乏.

此外，在数学教材中融入数学史料的水平上，也是较低层次的，大都以显性的方式呈现数学史素材.由表4可以知道，以显性方式呈现数学史料占60%，真正与数学内容有机结合、融历史于无形的重构式数学史料比较少，仅有7.3%.再加上很多数学教师本身数学史素养不高，又缺乏专家层面上的指导，使得数学史的教育价值浮于表面.这样可能导致教师在课堂教学中对数学史料的处理上走向两个极端：一是直接忽略不管，二是本末倒置，将数学史的融入搞成了单纯的数学史教学.

最后，我们统计6本教材中的数学史料的数量，分别为：10、8、12、16、6、3.可以看出，数学史料在教材中的分布是很不均衡的，最少与最多者相差达到5倍多.从教材中数学史料的运用方式看，其分布也不均衡.

总之，虽然教材中编入了一些数学史，可以为学生提供进一步学习和教师在教学中使用.但从教材中数学史料融入的总体情况来看，大都是宏观上的简述，对数学知识的发生、发展则一笔略过，着墨非常少.从HPM研究的目的来看，这只是数学史料浅层次的运用.同时，教材中这样运用数学史料的方式也会在一定程度上影响教师在教学中对数学史料的使用，导致在教学实践中，数学史“高评价，低应用”的现象普遍存在.

参考文献

[1]汪晓勤.法国初中数学教材中的数学史[J].数学通报，2012，51（3）：16-20，23.

[2]洪有情.国民中学 数学 第1册（上） [M].台北：康轩文教，2012.

[3] 洪有情.国民中学 数学 第1册（下） [M].台北：康轩文教，2012.

[4] 洪有情.国民中学 数学 第2册（上） [M].台北：康轩文教，2012.

[5] 洪有情.国民中学 数学 第2册（下） [M].台北：康轩文教，2012.

[6]洪有情.国民中学 数学 第3册（上） [M].台北：康轩文教，2012.

[7]洪有情.国民中学 数学 第3册（下） [M].台北：康轩文教，2012.

[8] 欧几里得.几何原本[M].南京：译林出版社，2014，4-11.

[9]卡茨. 数学史通论（第二版）[M]. 北京：高等教育出版社，2004，296.

[10] van der Waerden，B.L.Geometry and Algebra in Ancient Civilizations[M].Berlin：Springer-Verlag，1983，58-59.

[11] 张生春.数学史与数学课程融合的现状分析[J].数学通报，2013，47（5）：15-17，21.