陈 怀，田 源，何泽荣

(1.杭州电子科技大学理学院，浙江 杭州 310018；2.大连大学信息工程学院，辽宁 大连 116622)

具有xk型增长率的脉冲害虫模型的周期行为

陈 怀1，田 源2，何泽荣1

(1.杭州电子科技大学理学院，浙江 杭州 310018；2.大连大学信息工程学院，辽宁 大连 116622)

研究了一类具有xk型增长率的害虫综合治理模型.利用后继函数确立了周期解的存在性，运用类庞加莱准则分析了周期解的稳定性.最后使用MATLAB对系统进行数值模拟，验证了其理论结果.

害虫治理；周期解；稳定性；后继函数；类庞加莱准则

0 引 言

喷洒农药和投放天敌是治理害虫的两种主要方法.近年来，很多学者针对各类害虫控制系统进行了理论研究，提出了相应的操作方法.陈兰荪[1]针对半连续动力系统给出了相关定义和部分理论结果.Zhang T. Q.等[2]研究了Gompertz系统周期解的存在性和稳定性.Tian Y.等[3]研究了控制时间依赖于捕食者和食饵数量的种群系统，并建立了阶一周期解的稳定性判断准则.文献[4]提出了一种新的种群增长率.本文对文献[4]研究的害虫模型加以改进，建立了一类新的害虫治理模型，并对模型进行了分析.

1 预备知识

定义1[1]假设脉冲集M和相集N均为实数集R的子集.在相集N上定义坐标，例如定义N与x轴的交点Q的坐标为0，N上任意一点A的坐标为A与Q的距离，记为a.设由点A出发的轨线与脉冲集交于一点C，点C的脉冲相点为点B，它在相集N上，坐标为b.称B为A的后继点，点A的后继函数为F(A)=b-a.

引理1[1]后继函数F(A)是连续的.

考虑如下系统

(1)

其中，φ(x,y)表示系统的脉冲函数.

2 基础模型

最为经典、最为简单的捕食者—食饵模型是Lotka-Volterra模型.文献[4]提出了新的种群增长模型

(2)

与Malthus模型不同，它考虑了一类食饵比例缩小的增长率，这里0

在害虫治理过程中，无论是投放天敌还是喷洒杀虫剂都是分批进行的，因此防治害虫是一种脉冲行为.本文考虑如下脉冲微分方程模型：

(3)

3 定性分析

3.1 周期解的存在性

图1 模型(3)的结构图和周期解

综上所述，模型(3)必存在周期解.证毕.

3.2 周期解的稳定性

φ0.

P(x,y)=rxk-bxy,Q(x,y)=cxy-dy,A(x,y)=-px,B(x,y)=-qy+τ,φ(x,y)=x-h.

计算得到

由此得出

因此，

4 数值模拟

本节用实例来验证前面的理论结果.对于模型(3)，令r=0.7，b=0.5，c=0.3，d=1.5，k=0.75，p=0.4，q=0.3，h=0.4.通过计算得到P(0.240,2.000)，Q(0.400,1.760)，A(5.000,0.936).使用MATIAB进行数值模拟.取不同的τ值，即释放不同数目的天敌，得到结果如图2所示.图2(a)中，τ=1.7时，害虫和天敌的数量经过一段周期后回到从前值；图2(b)中，τ=2.5时，投放天敌量大，使得害虫量减少到初始值以下，天敌量随之减少，经过多次脉冲后某一周期害虫和天敌数量回到从前值，图2(c)中，τ=0.8时，天敌投放量少，但也造成害虫量减少，同样经过多次脉冲后某一周期害虫和天敌量回到从前值.由此可知，释放不同数目的天敌时害虫数量仍然是可控的.

图2 不同τ值下，系统(3)的周期解模拟图

5 结束语

本文对具有xk型害虫增长率的脉冲系统模型进行了周期行为分析.研究发现，害虫的幂律增长值k对模型周期解的存在性和稳定性有明显的影响.当0

[1]陈兰荪.害虫治理与半连续动力系统几何理论[J].北华大学学报(自然科学版),2011,12(1):1-9.

[2]ZHANG T, MENG X, LIU R, et al. Periodic solution of a pest management Gompertz model with impulsive state feedback control[J]. Nonlinear Dynamics, 2014,78(2):921-938.

[3]TIAN Y, SUN K, CHEN L, et al. Geometric approach to the stability analysis of the periodic solution in a semi-continuous dynamic system[J]. International Journal of Biomathematics, 2014,7(2):121-139.

[4]HATTON I A, MCCANN K S, FRYXELL J M, et al. The predator-prey power law: Biomass scaling across terrestrial and aquatic biomes[J]. Science, 2015,369(6252):aac6284.

[5]SIMEONOV P S, BAINOV D D. Orbital stability of periodic solutions of autonomous systems with impulse effect[J]. Comptes Rendus De Lacadeémie Bulgare Des Sciences Sciences Matheématiques Et Naturelles, 1988,19(12):2561-2585.

[6]宋新宇,郭红建,师向云.脉冲微分方程理论及其应用[M].北京:科学出版社,2011:19-23，98-109.

The Periodic Behaviors of a Pest Management Model withxkPower Growth Rate

CHEN Huai1, TIAN Yuan2, HE Zerong1

(1.SchoolofScience,HangzhouDianziUniversity,HangzhouZhejiang310018,China;2.SchoolofInformationEngineering,DalianUniversity,DalianLiaoning116622,China)

A new pest IPM strategy model withxkpower growth rate is proposed and studied in this paper. Firstly, the existence of periodic solutions is established by means of successor functions. Then, the stability of periodic solution is analyzed via the analogue of Poincaré criterion. Finally, the theoretical results of the paper are illustrated by MATLAB numerical simulations.

pest model; periodic solution; existence and stability; successor function; analogue of Poincaré criterion

10.13954/j.cnki.hdu.2017.04.020

2016-10-27

国家自然科学基金资助项目(11271104；11401068)

陈怀(1993-)，女，贵州毕节人，硕士研究生，运筹学与控制论.通信作者:何泽荣教授，E-mail:zrhe@hdu.edu.cn.

O175.1

A

1001-9146(2017)04-0090-04