张丽香 刘汉泽 辛祥鹏

(聊城大学数学科学学院,聊城252059)

广义(3+1)维Zakharov-K uznetsov方程的对称约化、精确解和守恒律∗

张丽香 刘汉泽†辛祥鹏

(聊城大学数学科学学院,聊城252059)

(2016年1月1日收到;2017年1月2日收到修改稿)

运用李群分析,得到了广义(3+1)维Zakharov-Kuznetsov(ZK)方程的对称及约化方程,结合齐次平衡原理,试探函数法和指数函数法得到了该方程的群不变解和新精确解,包括冲击波解、孤立波解等.进一步给出了广义(3+1)维ZK方程的伴随方程和守恒律.

Zakharov-Kuznetsov方程,李群分析,精确解,守恒律

1 引言

非线性发展方程的求解一直是数学和物理工作者研究的热点问题,经过多年研究,提出了许多有效的方法,如经典李群方法[1−3],改进的tanh函数方法[4],Hirota方法[5],Painlevé截断展开法[6],Clarkson-K ruskal直接约化方法[7,8],(G′/G)展开方法[9],Jacobi椭圆函数展开法[10].其中李群方法是研究偏微分方程的有力工具之一,本文将采用李群分析研究广义(3+1)维Zakharov-Kuznetsov(ZK)方程

其中u=u(x,y,z,t),a1,a2,a3,a4,a5,a6是任意非零常数.方程(1)包含了许多著名的方程,例如当a1=a3=a4=a6=0时,该方程就是著名的Korteweg-de Vries方程[11];当a1=a2=a3=a4=0时,该方程就是正则长波方程[12];当a2=a4=a5=0时,该方程就是(2+1)维ZK-MEW方程[13,14];当a1=a4=a6=0时,该方程就是(2+1)维ZK方程[15];当a2=a3=a4=a5=0时,该方程就是修正的(1+1)维MEW方程.

本文主要由以下几部分组成:第2部分,求出方程(1)的李点对称;第3部分,对方程(1)进行约化;第4部分,利用试探函数法[16]、指数函数法[17]和齐次平衡原理[18−20],求约化方程的精确解,进而得到方程(1)的精确解;第5部分,给出方程(1)的伴随方程和守恒律[21−24];最后,对本文做简要总结.

2 广义(3+1)维ZK方程的对称

设方程(1)的单参数向量场为

其中,ξ1(x,y,z,t,u),ξ2(x,y,z,t,u),ξ3(x,y,z,t,u),ξ4(x,y,z,t,u),ϕ(x,y,z,t,u)是待定函……