李 高

(山西大同大学数学与计算机科学学院，山西 大同 037009)



关于一次不定方程x1+x2+…+xm=n正整数解的新解法

李 高

(山西大同大学数学与计算机科学学院，山西 大同 037009)

目的 从不定方程x1+x2+…+xm=n的传统与高等解法入手，探索寻觅新解法。方法 把不定方程的常数项n拆成n个1排成一列，在排成1列的空档中巧妙利用组合及组合数的方法。结果 依据不定方程的自身特点，应用初等数学组合的基础知识即可寻得方程x1+x2+…+xm=n的正整数解以及解的个数的解法，与传统列表枚举法或高等的解法相比较，得到了独特新颖解法。结论 不定方程独特的新颖解法只用了组合数即可把问题解决，它不仅打破了沿用至今的不定方程的烦琐的传统解法，避让了高深的高等解法，而且在学习和应用中给出了解决问题的新思路。

不定方程;枚举法;正整数解;独特的新方法

1 不定方程正整数解的存在性

定理 当n

特别地，当n=m时，不定方程x1+x2+…+xm=n有且仅有一组正整数解，即

x1=x2=…=xm=1

2 求不定方程正整数解的常用方法

2.1 传统解法

当n>m，且n与m都不太大时，不定方程x1+x2+…+xm=n的正整数解一般采用列表枚举法进行求解。

例1 求x+y+z=5的正整数解。

表1 x+y+z=5的正整数解表

由表1的列表枚举知，方程有6组正整数解。

当n与m较大时，采用列表枚举法显得举步维艰，难以求解。

2.2 高等解法

依据不定方程解的存在性定理可知，当n≥m时，不定方程x1+x2+…+xm=n有正整数解[6-8]。

方程x1+x2+…+xm=0变形为xm=-x1-x2-…-xm-1

取x1=1,x2=x3=…=xm-1=0得xm=-1

取x2=1,x1=x3=x4=…=xm-1=0得xm=-1

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