张小伟

(黔南民族师范学院物理与电子科学学院，贵州 都匀 558000)



关于电场中线性谐振子问题的求解

张小伟

(黔南民族师范学院物理与电子科学学院，贵州 都匀 558000)

线性谐振子是量子力学中非常重要的一个模型，本文列举了求解电场中线性谐振子能量和波函数的不同方法，并比较几种方法的优缺点。

线性谐振子；微扰理论；费曼-海尔曼定理

量子力学中关于线性谐振子的研究很多，最主要是因为谐振子往往可作许多复杂运动的初步近似，所以谐振子的研究，无论在理论还是在应用方面都很重要。量子力学的各类教程中，最基本的是用薛定谔方程求解一维线性谐振子的能量和波函数。本文列举几种不同方法求解电场中的一维谐振子的能量和波函数，并对不同方法进行比较。

(1)

1 严格求解

一维自由线性谐振子的能量和波函数可以通过解定态薛定谔方程求得，能级为：

(2)

能级间隔为ћω，对应能量En的波函数为：

(3)

由归一化条件可求得归一化系数：

(4)

带电谐振子因为受到电场的作用，其哈密顿算符中势能项多了一个变量的一次项-qεx。用坐标平移法(1)式可变为：

(5)

(6)

所以带电线性谐振子能级：

(7)

能级间隔为ћω，可见电场并没有改变谐振子的能级间隔。

(8)

(9)

2 用定态微扰理论求解

针对带电线性谐振子的问题，体系的哈密顿算符不是时间的显函数，要用到定态微扰理论求解，微扰理论一般是从简单问题的精确解出发求解复杂问题的近似解。

若电场为弱电场，则线性谐振子的哈密顿量可写成：