S´andor-Yang平均关于一些二元平均凸组合的确界

2017-08-07徐会作

华东师范大学学报（自然科学版） 2017年4期

关键词：等价等式情形

徐会作

(温州广播电视大学经管学院,浙江温州325013)

S´andor-Yang平均关于一些二元平均凸组合的确界

徐会作

(温州广播电视大学经管学院,浙江温州325013)

运用精细化的实分析方法,研究了S´andor-Yang平均SQA(a,b)、SAQ(a,b)与算术平均A(a,b)和二次平均Q(a,b)凸组合以及算术平均A(a,b)和反调和平均C(a,b)凸组合的序关系.得到了关于S´andor-Yang平均SQA(a,b)、SAQ(a,b)的四个精确双向不等式.

Schwab-Borchardt平均;S´andor-Yang平均;算术平均;二次平均;反调和平均

0 引言

我们熟知Schwab-Borchardt平均S B(a,b)关于正数a和b都是严格单调递增的,并且关于a和b是非对称和一阶齐次的.许多对称二元平均都是Schwab-Borchardt平均的特殊情形.例如:P(a,b)=(a−b)/[2 arcsin((a−b)/(a+b))]=S B[G(a,b),A(a,b)]是第一类Seiff ert平均,T(a,b)=(a−b)/[2 arctan((a−b)/(a+b))]=S B[A(a,b),Q(a,b)]是第二类Seiff ert平均, M(a,b)=(a−b)/[2arcsinh((a−b)/(a+b))]=S B[Q(a,b),A(a,b)]是Neuman-S´andor平均, L(a,b)=(a−b)/[2arctanh((a−b)/(a+b))]=S B[A(a,b),G(a,b)]是对数平均.

成立.

在文献[5]中,杨镇杭证明了S(a,b)=b ea/SB(a,b)−1是一个关于正数a和b的平均,并且介绍了两个S´andor-Yang平均如下.

成立,且当p≥3/4时的最佳参数是λp=eπ/421/p−1/2.

最近,赵铁洪、钱伟茂和宋迎清[8]证明了对所有a,b＞0且ab,双向不等式

本文的主要目的是给出最佳参数α1,α2,α3,α4,β1,β2,β3,β4∈(0,1)，使得对所有a,b＞0且ab,双向不等式

成立.

1 引理

为了证明我们的主要结果,本节给出我们需要的四个引理.

引理1.1设p∈(0,1),

则以下结论成立.

我们由上述系列等式和不等式,并结合f(x)在分段区间上的单调性容易得到引理1.1(2).

引理1.2设p∈(0,1),

则以下结论成立.

证明简单计算可得

我们由上述系列等式和不等式,并结合g(x)在分段区间上的单调性,容易得到引理1.2(2).

引理1.3设p∈(0,1),

则以下结论成立.

证明简单计算可得

我们由上述系列等式和不等式,并结合h(x)在分段区间上的单调性,容易得到引理1.3(2).

引理1.4设p∈(0,1),

则以下结论成立.

证明简单计算可得

其中

我们由上述系列等式和不等式,并结合k(x)在分段区间上的单调性,容易得到引理1.4(2).

2 主要结果

定理2.1双向不等式

简单计算可得

其中f(x)的定义由引理1.1给出.

我们分两种情形证明.

情形1若p=2/3.则从等式(2.5)—(2.7)和(2.9),结合引理1.1(1)可得结论

情形2若p=p1.则从等式(2.9)和引理1.1(2)可得结论：存在λ1∈使得当x∈(1,λ1]时,F(x)严格单调递减;当x时,F(x)严格单调递增.注意从等式(2.8)可推得

我们从等式(2.5)—(2.7)和(2.11),结合F(x)的分段单调性,可得

所以,我们从等式(2.3)—(2.4)和不等式(2.10)、(2.12),并结合不等式(2.1)等价(2.13)的事实，容易得到定理2.1,

定理2.2双向不等式

简单计算可得

其中g(x)的定义由引理1.2给出.

我们分两种情形证明.

情形1若p=1/3.则从等式(2.18)—(2.20)和(2.22)以及引理1.2(1)可得结论

从等式(2.18)—(2.20)和(2.24)结合G(x)的分段单调性,可得

所以,我们从等式(2.16)—(2.17)和不等式(2.23)、(2.25),并结合不等式(2.14)等价于(2.26)的事实,容易得到定理2.2,

定理2.3双向不等式

简单计算可得

其中h(x)的定义由引理1.3给出.

我们分两种情形证明.

从等式(2.31)—(2.33)和(2.36)结合H(x)的分段单调性,可得

情形2若p=1/3.则从等式(2.31)–(2.33)和(2.35),并结合引理1.3(1),可得结论

所以,我们从等式(2.29)—(2.30)和不等式(2.37)、(2.38),并结合不等式(2.27)等价于(2.39)的事实,容易得到定理2.3,

定理2.4双向不等式

简单计算可得

其中k(x)的定义由引理1.4给出.

我们分两种情形证明.

从等式(2.44)—(2.46)和(2.49)结合J(x)的分段单调性,可得

情形2若p=1/6.从等式(2.44)–(2.46)和(2.48)并结合引理1.4(1),可得结论

所以,我们从等式(2.42)–(2.43)和不等式(2.50)、(2.51),并结合不等式(2.40)等价于(2.52)的事实,容易得到定理2.4,

[1]BRENNER J L,CARLSON B C.Homogeneous mean values:Weights and asymptotes[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,1987,123:265-280.

[2]CARLSON B C.Algorithms involving arithmetic and geometric means[J].The American Mathematical Monthly, 1971,78(5):496-505.

[3]NEUMAN E,S´ANDOR J.On the Schwab-Borchardt mean[J].Mathematica Pannonica,2003,14(2):253-266.

[4]NEUMAN E,S´ANDOR J.On the Schwab-Borchardt mean II[J].Mathematica Pannonica,2006,17(1):49-59.

[5]YANG Z H.Three families of two-parameter means constructed by trigonometric functions[J].Journal of Inequalities and Applications,2013(1),1-27.

[6]YANG Z H,JIANG Y L,SONG Y Q,et al.Sharp inequalities for trigonometric functions[J].Abstract and Applied Analysis,2014,18 pages.

[7]YANG Z H,CHU Y M.Optimal evaluations for the S´andor-Yang mean by power mean[J].Mathematical Inequalities&Applications,2016,19(3):1031-1038.

[8]ZHAO T H,QIAN W M,SONG Y Q.Optimal bounds for two S´andor-type means in terms of power means[J]. Journal of Inequalities and Applications,2016(1):64.

(责任编辑：林磊)

Sharp bounds for S´andor-Yang means in terms of some bivariate means

XU Hui-zuo
(School of Economics and Management,Wenzhou Broadcast and TV University, Wenzhou Zhejiang 325013,China)

This paper deals with the inequalities involving S´andor-Yang means derived from the Schwab-Borchardt mean using the method of real analysis.The convex combinations of the arithmetic mean A(a,b)and quadratic Q(a,b)(or contra-harmonic mean C(a,b))for the S´andor-Yang means SQA(a,b)and SAQ(a,b)are disscused.The main results obtained are the sharp bounds of the two convex combinations,namely,the best possible parametersα1,α2,α3,α4,β1,β2,β3,β4∈(0,1),such that the double inequalities

hold for all a,b＞0 and a/=b.Here A(a,b),Q(a,b)and C(a,b)denote respectively the classical arithmetic,quadratic,contra-harmonic means of a and b,SQA(a,b)and SAQ(a,b) are two S´andor-Yang means derived from the Schwab-Borchardt mean.

Schwab-Borchardt mean;S´andor-Yang mean;arithmetic mean; quadratic mean;contra-harmonic mean

O178

：A

10.3969/j.issn.1000-5641.2017.04.004

1000-5641(2017)04-0041-11