李保生1)2) 丁瑞强1)3)† 李建平4)5) 钟权加1)2)

1)(中国科学院大气物理研究所,大气科学和地球流体力学数值模拟国家重点实验室,北京 100029)

2)(中国科学院大学地球科学学院,北京 100049)

3)(成都信息工程大学,高原大气与环境四川省重点实验室,成都 610225)

4)(北京师范大学全球变化与地球系统科学研究院,北京 100875)

5)(全球变化研究协同创新中心,北京 100875)

(2016年11月11日收到;2016年12月15日收到修改稿)

强迫Lorenz系统的可预报性研究∗

李保生1)2) 丁瑞强1)3)† 李建平4)5) 钟权加1)2)

1)(中国科学院大气物理研究所,大气科学和地球流体力学数值模拟国家重点实验室,北京 100029)

2)(中国科学院大学地球科学学院,北京 100049)

3)(成都信息工程大学,高原大气与环境四川省重点实验室,成都 610225)

4)(北京师范大学全球变化与地球系统科学研究院,北京 100875)

5)(全球变化研究协同创新中心,北京 100875)

(2016年11月11日收到;2016年12月15日收到修改稿)

根据非线性局部Lyapunov指数方法,分别以常数强迫Lorenz系统和准周期强迫Lorenz系统为例,研究了在外强迫存在的条件下混沌系统可预报性的改变.结果表明:外强迫会影响混沌系统的可预报性,两种不同类型的强迫Lorenz系统的可预报期限都随着外强迫的增强而增加,但是大小相等方向相反的外强迫对系统可预报性的影响不同,其中正值强迫比负值强迫作用下的可预报期限更长,并且这种差异随着强度的增加而增大;不同形式的外强迫对可预报性的影响也不同,常数强迫的影响主要体现在误差增长的线性阶段,准周期强迫的影响除了线性阶段还必须考虑到非线性阶段;当强度相等的常数强迫和准周期强迫驱动Lorenz系统时,常数强迫作用下的系统可预报性更高.本文基于混沌理论模型的研究,对于实际大气的可预报性研究具有一定的启示意义.

非线性局部Lyapunov指数,可预报性,外强迫,Lorenz系统

1 引 言

大气是一个复杂的非线性系统,具有内在随机性[1,2],因此其可预报时效有一定的范围,超出范围,预报将失去技巧.虽然混沌系统对初值十分敏感,但是系统的短期行为仍是可预测的[3−7].大气系统存在可预报性是其固有属性,确定和估计这种预报时效的长短,研究误差增长和传播规律等是可预报性理论研究的主要内容,其中定量的估计可预报时效也是一个重要课题.当前关于可预报性的研究工作中,丁瑞强和李建平[8−10]提出的非线性局部Lyapunov指数(NLLE)的方法,克服了传统Lyapunov指数的局限,不做任何线性近似,考虑到非线性项对误差增长的贡献,而且能够定量地估计混沌系统的可预报期限,该方法已经被应用到实际天气和气候的可预报性研究中,并取得了很好的效果[11−18].

在可预报性问题的研究中,除了要考虑初值的不确定性,外强迫的影响也很重要[19].大量的研究结果表明,强迫项在真实大气中是不可忽视的,例如在气候研究中常关注海表温度或海冰对环流的强迫作用[20−22],尤其是准周期为3—7年的ENSO循环对全球气候变化的贡献[23−25].外强迫条件的变化和异常会影响大气内部的动力过程,从而影响天气和气候的可预报性.但在以往有关强迫项的研究中,较少的工作涉及外强迫影响混沌系统可预报性的问题.外强迫的改变会使得混沌系统的可预报期限产生怎样的变化,尚需进一步的研究.同时,大气作为非线性动力系统,常用非线性理论模型来体现大气系统运动的非周期性和运动轨迹对初值的敏感性,但以往的研究主要集中探讨其动力结构和动力学统计性质等内容[26,27],涉及可预报性方面的研究工作还较少.

本文借助于Lorenz理论模型,并利用NLLE的方法,给出了定常强迫Lorenz模型[28]和准周期强迫Lorenz模型[29]在外强迫强度改变的条件下混沌系统误差增长规律和可预报期限的变化,以及外强迫对Lorenz系统混沌性质的影响.

2 方 法

本文采用NLLE方法定量地估计混沌系统的可预报期限.由于传统的Lyapunov方法[30−32]都假设初始误差无限小,误差发展满足切线性近似,因而忽略了非线性项对误差增长的贡献,使得传统方法无法描述有限尺度大小的初始误差对可预报性的贡献,因此存在很大的缺陷和不足.NLLE方法不做任何线性近似,保留所有的非线性项,直接对误差演化的非线性方程进行积分求解.

对于一个n维非线性动力系统,其原始误差演化方程表示如下:

其中x是t时刻系统的状态向量,δ是状态x上叠加的误差,J(x)δ是切线性项,G(x,δ)是关于误差的高阶非线性项.将误差演化方程(1)的解从t=t0到t0+τ进行数值积分,得到

其中δ1= δ(t0+τ),x0=x(t0),δ0= δ(t0), η(x0,δ0,τ)为非线性误差传播算子. NLLE被定义为

这里λ(x0,δ0,τ)不仅依赖于相空间中参考轨道的初始状态x0和演化时间τ,还与初始误差δ0有关.系统全局吸引子上的整体集合平均的非线性局部Lyapunov指数可表示为

这里Ω代表系统全局吸引子的区域范围,〈·〉N表示N(N→∞)个样本的集合平均.在此基础上可以获得初始误差的平均相对增长,

由(3),(4)和(5)式可得

对于一个混沌系统,随着τ→ ∞,δ1(t0+τ), δ2(t0+τ),···,δN(t0+τ)相互独立,并且收敛到同一分布,根据Ding和Li[8]证明的饱和定理,误差的平均相对增长以概率意义收敛到一个常数,即

3 试验设计

本文选取两个简单的强迫Lorenz系统来研究不同类型的强迫以及外强迫强度的改变对其可预报性的影响.

3.1 常数强迫Lorenz系统

在经典Lorenz模型基础上,Palmer[28]引入常数强迫的Lorenz模型,其方程为

其中σ=10,r=28,b=8/3,分别为Prandtl数、Rayleigh数以及表示与对流尺度相联系的参数.强迫参量的选取,利用M ittal等[33]研究的情形,其中Fx=σF,Fy=−F,Fz=0.当强迫项存在时, Lorenz系统出现混沌现象除了与自身参数σ,r,b有关,还受到F的限制.这种条件下,强迫项存在临界值Fc=1.61,仅当|F|＜Fc时,系统表现出混沌.本文在保证系统混沌性的前提下,通过变化强迫项F的大小来研究系统可预报性的改变.

3.2 准周期强迫Lorenz系统

本文选取的准周期外力强迫的Lorenz方程如下:

方程中的参数σ,r,b与常数强迫情形下相同,A为准周期外强迫的振幅;v为常数,v=2π;w为无理数,取值为,计算中采用有理数来近似表示,w=0.618.本文通过变化外强迫振幅A的大小来研究Lorenz系统的可预报期限对外力强迫的响应.

由于强迫Lorenz系统的控制方程已知,我们采用直接积分误差演化方程的方法来计算NLLE,从而定量地确定不同强迫条件与系统可预报性的关系.

4 结果分析

4.1 常数强迫Lorenz系统

图1给出了常数强迫Lorenz系统分别在有强迫和无强迫的条件下,初始误差(δ0=10−6,下文同)的增长规律和可预报期限的变化情况.从图1(a)可以看出:无论是否存在强迫,Lorenz系统的¯λ都在最初阶段表现出突然增加为较大的正值,这段时间可以认为是初始误差随时间调整到误差最快增长方向的适应阶段;随后¯λ逐渐趋于常数,该阶段为误差增长的线性阶段,误差增长率在此阶段表现出明显的分离现象,其中有常数强迫条件下的¯λ相比无强迫时的情形下要小;当进一步发展到非线性阶段后,有强迫和无强迫系统的误差增长率逐渐趋于一致.与之对应的有强迫存在的情形下,ln¯E的增长也更为缓慢;尽管进入到非线性阶段后,最终达到的饱和值相等,但是有强迫存在时的ln¯E达到饱和需要的时间更长,即可预报期限增加(图1(b)).以上结果表明,当常数强迫存在时, Lorenz系统的误差增长规律和可预报期限会发生改变.常数强迫的驱动使得系统的误差增长更加缓慢,造成可预报性的增加,同时外强迫对误差增长的影响主要体现在线性阶段.

图1 (网刊彩色)常数强迫Lorenz系统的(a)NLLE和(b)误差的自然对数ln¯E随t的变化(黑色实线,F=0;红色实线,F=1.5;黑色水平虚线,饱和值的98%)Fig.1.(color on line)Tem poral evolution of(a)the NLLE and(b)the error grow th of the Lorenz system w ith constant forcing(b lack solid cu rves,F=0;red solid curves,F=1.5;b lack dashed horizontal cu rve m eans the value correspond ing to the 98%satu rated bias).

为了进一步分析不同大小和方向的常数强迫对Lorenz系统的影响规律,图2给出了Lorenz系统的误差增长率和误差增长曲线随着不同常数强迫的变化.从图2(a)可以看出:¯λ在最开始经过短时的调整之后,进入到线性阶段,在该阶段表现出明显的分离现象,随着|F|的增大,线性阶段的¯λ随之减小;当发展到非线性阶段之后,不同强迫条件下的误差增长率趋于一致.误差增长曲线(图2(b))也显示了相应的发展情况,虽然混沌系统的初值误差在各强迫条件下达到的饱和值相等,但是ln¯E的增长速度并不相同,|F|越大,增长曲线的曲率越大,意味着最终达到饱和所需的时间越长.此外,我们还可以注意到,大小相等方向相反的外强迫对可预报期限影响不同.当F=±0.5时,误差增长曲线比较接近;随着F增加到±1.0时,两条误差增长曲线在线性增长阶段有较为明显的分离,并且F=1.0的误差增长速度更为缓慢;当F进一步扩大到±1.5时,误差增长曲线的分离表现更为明显,其中F=1.5的增长速度更慢.可见,大小相同方向相反的常数强迫并不都对误差增长产生相同的影响,正值强迫对于可预报性增加的影响更为显著.

图2 (网刊彩色)不同强迫条件下,常数强迫Lorenz系统的(a)NLLE和(b)误差的自然对数ln¯E随t的变化(黑色水平虚线:饱和值的98%)Fig.2.(color on line)Tem poral evolution of(a)the NLLE and(b)the error grow th of the Lorenz system w ith d iff erent constant forcings(b lack dashed horizontal curve m eans the value corresponding to the 98% satu rated bias).

为了更加直观地分析不同强迫对Lorenz系统可预报期限的影响,图3给出了可预报性期限TP随不同强度的常数强迫的变化曲线.首先,从图3可以看出,随着外强迫强度的增强,可预报性也随之增加;其次,曲线的非对称性更明显地表述出大小相等、方向不同的|F|对混沌系统产生着不同的影响,也说明了Lorenz系统对正负强迫的响应不同. Lorenz系统可预报性的增加对正值强迫的响应要比负值强迫更加明显,随着强迫强度的增加,这种差异越为显著.

传统Lyapunov指数常用来表示混沌系统的改变,Ding和Li[18]在研究中曾指出线性阶段的NLLE与传统Lyapunov指数大致相等,因此本文利用误差增长率在其线性平稳阶段的平均值¯λL来估计系统的内部变化.从图4给出的误差增长线性阶段的平均值¯λL随外强迫的变化曲线可以看出,不存在常数强迫时的¯λL最大.随着正强迫值的增加,¯λL随之减小,负值亦然.但不同的是,强迫为正值时,¯λL曲线的下降趋势比强迫为负值时更加明显,意味着正值强迫下¯λL减小速度更快,与图3中的结论相符合.由此可见,外强迫的存在改变了系统的误差增长规律,强迫越强,误差增长越慢,可预报期限越长;同时,对于强度相等的外强迫,正值强迫比负值强迫下的可预报期限更长.

图3 常数强迫Lorenz系统的可预报期限TP随强迫F的变化Fig.3.The p redictability lim it TPof the Lorenz system w ith constant forcing variesw ith the ex ternal forcing strength F.

图4 常数强迫Lorenz系统的¯λL随强迫F的变化Fig.4.The average NLLE of the linear phase¯λLof the Lorenz system w ith constant forcing varies w ith the ex ternal forcing strength F.

4.2 准周期强迫Lorenz系统

图5给出了Lorenz系统在准周期强迫条件下的误差增长率与误差增长曲线.同常数强迫Lorenz系统一样,系统误差增长率在经过短时间的调整后进入到线性阶段,此时系统受到准周期强迫驱动的相比无强迫情形下的小,随着时间发展,由于非线性作用的增强,增长率最终趋于一致(图5(a)).图5(b)的误差发展曲线也显示出,系统存在准周期外强迫时,初始误差的增长速度要更加缓慢,达到饱和的时间更加长,可预报期限增加.由此可见,准周期强迫增加了Lorenz系统的可预报性.

图5 (网刊彩色)准周期强迫Lorenz系统的(a)NLLE和(b)误差的自然对数ln¯E随t的变化(黑色实线,A=0;红色实线,A=15;黑色水平虚线,饱和值的98%)Fig.5.(color on line)Tem poral evolution of(a)the NLLE and(b)the error grow th of the Lorenz system w ith quasi-periodic forcing(b lack solid cu rves,A=0;red solid cu rves,A=15;b lack dashed horizontal curvem eans the value correspond ing to the 98%satu rated bias).

图6 (网刊彩色)不同强迫条件下准周期强迫Lorenz系统的误差自然对数ln¯E随t的变化(黑色水平虚线:饱和值的98%) (a)准周期强迫振幅A为负值;(b)准周期强迫振幅A为正值Fig.6.(color on line)Tem poral evolution of the error grow th of the Lorenz system w ith diff erent quasiperiodic forcings(b lack dashed horizontal cu rvesm ean the value corresponding to the 98%saturated bias): (a)The quasi-period ic forcings are negative;(b)the quasi-periodic forcings are positive.

图6给出的准周期强迫Lorenz系统在不同强迫振幅A作用下的误差增长曲线,可以从中进一步分析系统可预报期限随强迫振幅的变化情况.外强迫振幅为负值的变化过程中(图6(a)),当A在−9内变动时,误差增长达到饱和需要的时间有增加的趋势,但是尚不明显,比较接近无强迫条件下的情形;但当A从−10开始增加,随着|A|的增加,误差增长速度减小趋势显著,达到饱和所需要的时间也明显增加;外强迫为较小的正值时(图6(b)),误差增长同样比较接近无强迫的情形;当A从7开始增加,可以看出误差增长曲线的曲率依此增大,即误差增长速度依此减小,达到饱和的时间增加.以上结果表明,在不考虑外强迫方向的前提下,初始误差的增长速度在整体上表现出随着外强迫振幅的增加而减小,从而使得可预报期限增加.

图7给出了准周期强迫Lorenz系统的可预报期限在不同的振幅作用下的变化曲线.从图7可以更明显地看出,在A=0时的可预报期限最短,随着|A|的增加,可预报期限增加,这一趋势随着外强迫的增强变的明显;在|A|较小时,TP的增长过程存在一定的波动,这与图6分析的误差增长曲线分离不明显结果对应;可预报期限变化曲线的非对称性表明,大小相等方向不同的外强迫对系统可预报性的影响效果不同,当外强迫的振幅较小时,外强迫方向的影响尚不显著,但是当振幅较大时,外强迫方向的作用使得正值强迫驱动下的系统可预报期限更长.

图7 准周期强迫Lorenz系统的可预报期限TP随强迫振幅A的变化Fig.7.The p redictability lim it TPof the Lorenz system w ith quasi-periodic forcing varies w ith the ex ternal forcing m agnitude A.

图8给出了准周期强迫Lorenz系统的NLLE在线性平稳阶段的平均值¯λL随强迫振幅A的变化曲线.首先,随着|A|的增加,¯λL呈现减小趋势,即系统误差增长速度依此减缓,图7得出的可预报性增加的结论与之对应;其次,¯λL在减小的过程中存在波动,尤其当|A|较小时表现明显,解释了可预报期限的波动增加趋势;图8中大小相等的外强迫,负值时的¯λL比正值时的小,这时负值下的可预报期限应该更大,但图7中的结果显示正值时较大.这可能是因为随着外强迫的增强,准周期强迫对于非线性阶段的影响开始显著,不再局限于误差增长的线性阶段,这是与常数强迫不同的地方,即不同形式的外强迫对系统误差增长的影响阶段是不同的.

为进一步说明不同形式的外强迫对系统误差增长的影响不同,图9给出了外强迫的强度相等(外强迫强度都选取为−1)时,常数强迫Lorenz系统和准周期外强迫Lorenz系统的误差增长率和误差增长曲线.从图9可以看出,常数强迫情形下的误差增长在其线性阶段更加缓慢,最终达到饱和的时间更久,可预报期限更长.这种结果显示出,强度相等形式不同的外强迫对系统的影响是不同的,系统受到常数强迫影响的可预报期限更长,因此当我们考虑外强迫对可预报性的影响时,也应该考虑到外强迫的不同形式.

图8 准周期强迫Lorenz系统的¯λL随强迫振幅A的变化Fig.8.The average NLLE of the linear phase¯λLof the Lorenz system w ith quasi-periodic forcing variesw ith the external forcing m agnitude A.

图9 (网刊彩色)不同强迫Lorenz系统的(a)NLLE和(b)误差的自然对数随t的变化(黑色实线,准周期强迫Lorenz系统;红色实线,常数强迫Lorenz系统;黑色水平虚线,饱和值的98%)Fig.9.(color on line)Tem poral evolution of(a)the NLLE and(b)the error grow th of the d iff erent forced Lorenz system(b lack solid cu rves,the Lorenz system w ith constant forcing;red solid curves,the Lorenz system w ith quasi-period ic forcing;b lack dashed horizontal curve m eans the value corresponding to the 98% satu rated bias).

5 讨论与结论

本文基于两个不同类型的强迫Lorenz理论模型,利用NLLE方法考察了在外强迫改变的情况下混沌系统的可预报性问题,主要研究结论如下.

1)外强迫会对系统的可预报性产生影响.两种不同强迫类型的系统可预报期限都随着外强迫的增强而增加;大小相同方向不同的外强迫作用不同,系统可预报性对正值强迫的响应要比负值强迫更加明显,系统在正值强迫作用下的误差增长率更小,可预报期限更长,并且这种差异随着强迫的增强而增加.

2)不同类型的外强迫对于系统误差增长的影响不同.常数强迫的影响主要体现在误差增长的线性阶段;准周期强迫作用下,随着强迫的增加,误差增长的非线性阶段同样受到影响;在外强迫强度相等时,混沌系统在常数强迫驱动下的可预报期限比准周期强迫时更长.

本文虽然基于简单的理论模型进行研究,但是其结果对于实际天气具有一定的启示意义.首先,大气可预报性的研究中,选取外强迫的强度对大气可预报性有重要影响,外强迫增强会使得大气可预报性增加,因此外强迫大小的选取在实际研究中要合理.其次,强迫的类型不同对于可预报性的影响不同,比如在大气可预报性的研究工作中,经常将海温作为外强迫驱动大气,但是选择海温作为常数外强迫或准周期外强迫的不同情形下,大气可预报性是不同的;此外,强度相等方向不同的强迫对于可预报性的作用效果不一致,这种非对称性随着外强迫的增强变得更加明显,可能是由于非线性的作用使得正负强迫条件下的信号强度表现不同,但是关于系统内部的动力行为仍有待深入研究.这对于实际研究同样重要,过去研究中我们常将强迫项作为一个整体去考虑,然而大气和海洋中存在着许多正负相反的气象要素和位相不同的模态,如海温的正负异常、ENSO的正负位相等,由于方向不同的外力对于实际大气或海洋的动力过程影响是不同的,所以应该分别考虑不同位相驱动下的可预报性问题.总之,大气和海洋的研究中存在着多种不同的准周期强迫项和常数强迫项,探索实际可预报性仍需要进一步的努力.

[1]Lorenz E N 1963 J.A tm os.Sci.20 130

[2]Chou J F 2002 Non linearity and Com plexit in A tm ospheric Sciences(Beijing:China M eteorological Press) p131(in Chinese)[丑纪范2002大气科学中的非线性和复杂性(北京:气象出版社)第131页]

[3]Lorenz E N 1965 Tellus A 17 321

[4]Lorenz E N,Palm er T N,Hagedorn R 1995 Proceedings of a Sem inar Held at ECMW F on Predictability(I), 1995 p1

[5]Li J P,Chou J F 2003 Chin.J.Atm os.Sci.27 653(in Chinese)[李建平,丑纪范2003大气科学27 653]

[6]Duan W S,M u M 2006 Chin.J.Atm os.Sci.30 759(in Chinese)[段晚锁,穆穆2006大气科学30 759]

[7]Duan W S,Ding R Q,Zhou F F 2013 C lim atic Environ. Res.18 524(in Chinese)[段晚锁,丁瑞强,周菲凡 2013气候与环境研究18 524]

[8]D ing R Q,Li J P 2007 Phys.Lett.A 364 396

[9]Ding R Q,Li J P 2007 Chin.J.Atm os.Sci.31 571(in Chinese)[丁瑞强,李建平2007大气科学31 571]

[10]D ing R Q,Li J P 2008 Acta Phys.Sin.57 7494(in Chinese)[丁瑞强,李建平2008物理学报57 7494]

[11]Li J P,D ing R Q 2008 Chin.J.A tm os.Sci.32 975(in Chinese)[李建平,丁瑞强2008大气科学32 975]

[12]D ing R Q,Li J P 2009 Acta M eteor.Sin.67 343(in Chinese)[丁瑞强,李建平2009气象学报67 343]

[13]D ing R Q,Li J P,Seo K H 2010 M on.Wea.Rev.138 1004

[14]D ing R Q,Li J P,Seo K H 2011 M on.Wea.Rev.139 2421

[15]D ing R Q,Li J P 2011 M on.W ea.Rev.139 3265

[16]Ding R Q,Li J P 2013 Int.J.Clim atol.33 1936

[17]D ing R Q,Li J P,Zheng F,Feng J,Liu D Q 2015 C lim ate Dyn.46 1563

[18]Ding R Q,Li J P 2012 Adv.Atm os.Sci.29 1078

[19]Reich ler T J,Roads J O 2003 Non linear Proc.Geoph. 10 211

[20]Yang X Q,X ie Q,Huang T S 1992 Acta M eteor.Sin. 50 349(in Chinese)[杨修群,谢倩,黄士松1992气象学报50 349]

[21]Li C Y,Zhu J H,Sun Z B 2002 Clim atic Environ.Res. 7 209(in Chinese)[李崇银,朱锦红,孙照渤2002气候与环境研究7 209]

[22]LiW J,Li Y,Chen L J,Zhao Z G 2013 J.Appl.M eteor. Sci.24 385(in Chinese)[李维京,李怡,陈丽娟,赵振国2013应用气象学报24 385]

[23]Charles C D,Hunter D E,Fairbanks R G 1997 Science 277 925

[24]W ang B,W u R G,Fu X H 2000 J.C lim ate 13 1517

[25]Zhang Z S,Hu P,Feng G L 2016 Acta M eteor.Sin.74 165(in Chinese)[张志森,胡泊,封国林2016气象学报74 165]

[26]Gong Z Q,Feng G L,Dong W J,Li J P 2006 Acta Phys. Sin.55 3180(in Chinese)[龚志强,封国林,董文杰,李建平2006物理学报55 3180]

[27]Gong Z Q,Zhou L,Zhi R,Feng G L 2008 Acta Phys. Sin.57 5351(in Chinese)[龚志强,周磊,支蓉,封国林2008物理学报57 5351]

[28]Palm er T N 1994 Proceedings-Indian National Science Academ y Part A 60 57

[29]He W P,Feng G L,Gao X Q 2006 Acta Phys.Sin.55 3175(in Chinese)[何文平,封国林,高新全2006物理学报55 3175]

[30]W olf A,Sw ift J B,Sw inney H L,Vastano J A 1985 Physica D 16 285

[31]Eckm ann J P,Ruelle D 1985 Rev.M od.Phys.57 617

[32]Lacarra J F,Talagrand O 1988 Tellus 40A 81

[33]M ittal A K,Dw ived i S,Pandey A C 2005 Non lin.Pro. Geophy.12 707

PACS:05.45.–a,92.60.WcDOI:10.7498/aps.66.060503

P red ictab ility of forced Lorenz system∗

Li Bao-Sheng1)2)Ding Rui-Qiang1)3)†Li Jian-Ping4)5)Zhong Quan-Jia1)2)

1)(State Key Laboratory of Num erical M odeling for A tm ospheric Sciences and Geophysical F luid Dynam ics(LASG),Institu te of
A tm ospheric Physics,Chinese Academ y of Sciences,Beijing 100029,China)
2)(College of Earth Sciences,University of Chinese Academ y of Sciences,Beijing 100049,China)
3)(Plateau Atm osphere and Environm ent K ey Laboratory of Sichuan Province,Chengdu University of Inform ation Technology, Chengdu 610225,China)
4)(College ofG lobal Change and Earth System Science(GCESS),Beijing Norm al University,Beijing 100875,China)
5)(Joint Center for G lobal Change Studies,Beijing 100875,China)
(Received 11 Novem ber 2016;revised m anuscrip t received 15 Decem ber 2016)

In recent years,the actual atm ospheric p redictability has attracted w idespread attention.Im proving our understanding of weather p redictability is vital to developing num ericalm odels and im p roving our forecast skill in weather and climate events.Given that the atmosphere is a com p lex and non linear system,taking the Lorenz system as an exam p le is a better way to understand the actual atm osphere predictability.Up to now,som e p redictability p roblem s of the Lorenz system have been investigated,such as the relative eff ects of the initial error and themodel error.Previous advances in the research of predictability m ainly focus on the relationship between the predictability lim it and the initial error.As iswell known,the external forcing can also resu lt in the change of the predictability.Therefore,it is significant to investigate the predictability changing w ith the external forcing.The nonlinear local Lyapunov exponent(NLLE)is introduced to m easure the average grow th rate of the initial error of non linear dynam icalm odel,which has been used for quantitatively determ ining the predictability lim it of chaos system.Based on the NLLE app roach,the infl uences of external forcing on the p redictability are studied in the Lorenz system w ith constant forcing and Lorenz system w ith quasi-periodic forcing in this paper.The results indicate that for the Lorenz system s w ith constant and quasi-periodic forcings respectively,their predictability lim its increase w ith forcing strength increasing.In the case of the sam e m agnitude but diff erent directions,the constant and quasi-periodic forcing both show diff erent eff ects on the predictability lim it in the Lorenz system,and these eff ects becom e significant w ith the increase of forcing strength.Generally speaking, the positive forcing leads to a higher predictability lim it than the negative forcing.Therefore,when we consider the eff ects of positive and negative elem ents and phases in the atm osphere and ocean research,the p redictability problem s driven by diff erent phases should be considered separately.In addition,the infl uences of constant and quasi-periodic forcings on the p redictability are diff erent in the Lorenz system.The eff ect of the constant forcing on the predictability ism ainly refl ected in the linear phase of error grow th,while the non linear phase should also be considered additionally for the case of the quasi-periodic forcing.The p redictability of the system under constant forcing is higher than that of the system under quasi-periodic forcing.These resu lts based on sim p le chaoticmodel could provide an insight into the predictability studies of com p lex system s.

nonlinear local Lyapunov exponent,predictability,external forcing,Lorenz system

10.7498/aps.66.060503

∗国家自然科学基金优秀青年科学基金(批准号:41522502)、“全球变化与海气相互作用”专项(批准号:GASI-IPOVA I-06)和国家重点研发计划(批准号:2016YFA 0601801)资助的课题.

†通信作者.E-m ail:d rq@m ail.iap.ac.cn

*Pro ject supported by the National Natural Science Foundation of China for Excellent Young Scholars(G rant No.41522502), the National Programm e on G lobalChange and A ir-Sea Interaction,China(G rant No.GASI-IPOVA I-06),and the National Key Research and Developm ent P lan of China(G rant No.2016YFA 0601801).

†Corresponding au thor.E-m ail:d rq@m ail.iap.ac.cn