何涛，周海燕

（赤峰学院 数学与统计学院，内蒙古 赤峰 024000）

数理研究

关于一类具有负系数的广义单叶函数的性质

何涛，周海燕

（赤峰学院 数学与统计学院，内蒙古 赤峰 024000）

本文引进了一类具有负系数的广义单叶函数.首先从属关系和初等方法讨论了了该类中函数的积分表达式和系数不等式、由此推出偏差、覆盖、闭包定理和极值点.最后，讨论该类中函数的Hadahard卷积的封闭性质.所得结果推广了文[1]中的主要结果并得到新结果.

单叶函数；系数不等式；积分表达式；hadahard卷积

1 引言

用S(a,k)表示在单位圆盘Δ＝{z:|z|＜1}内解析且单叶函数

全体组成的类.令T(a,k)表示S(a,k)中的具有负系数单叶函数的子类：

本文引进如下函数类：

定义设A,B∈N,a＞0,|A|≤1,|B|≤1,A≠B.函数f(z)∈S (a,k)属于函数类Pk(a,A,B)当且仅当

由上述定义,f(z)∈Pk(a,A,B)当且仅当在Δ中存在解析函数w(z)：w(0)=0,|w(z)|＜1,使得

等价于

令

本文中,作者先证明属于函数类Pk(a,A,B)的积分表达式、充分条件,并讨论其子类TPk(a,A,B)一些基本性质,得到类中函数的系数不等式、偏差、覆盖、闭包定理和极值点等性质,推广在文[1]中的主要结果.并进一步讨论类中函数Hadahard卷积的封闭性质.

2 主要结果及其证明

本文中,参数k,A,B,a均满足条件:k,A,B∈N,k≥2,a＞0, |A|≤1,|B|≤1,A≠B.

首先,给出积分表达式：

定理1函数f∈Pk(a,A,B)当且仅当

其中w(z)为解析函数且满足w(0)=0,|w(z)|＜1.

证明根据从属关系可知,函数f∈TPk(a,A,B)当且仅当(1.3)式成立,由此推出积分表达式.

其次，给出系数不等式并由此推出基本性质：

定理2设函数f(z)∈S(a,k),若满足条件

则f(z)∈Pk(a,A,B)

证明设不等式（2.2）成立.令|z|=1,由f(z)∈Tk(a)和利用（2.2）得到

定理3设函数f(z)∈Tk(a),则

(1)当-1≤B＜A≤1,B≤0时,f(z)∈TPk(a,A,B)的充要条件为

(2)当-1≤A＜B≤1,B≥0时,f(z)∈TPk(a,A,B)的充要条件为……