李百宏 王豆豆 庞华锋 张涛 解忧 高峰 董瑞芳李永放 张首刚

用二元相位调制实现啁啾纠缠光子对关联时间的压缩∗

李百宏1)2)†王豆豆2)庞华锋2)张涛2)解忧2)高峰2)董瑞芳1)‡李永放3)张首刚1)

(2016年9月16日收到;2016年11月24日收到修改稿)

啁啾纠缠光子对具有超宽带的频谱特征,但由于同时产生了二次频率相位因子使其关联时间也被拓宽,限制了其在量子计量、量子光刻等领域的应用.通过类比透镜在空间对光场的相位变换原理,本文提出了一种通过在频域制作“类透镜”(菲涅耳波带透镜)来等效消除二次频率相位因子,从而压缩啁啾纠缠光子对关联时间的方法.这种“类透镜”是基于菲涅耳波带片思想,通过将啁啾纠缠光子对光谱划分成菲涅耳频率波带,并进行二元相位(0,π)调制来实现.该方法可以在不损耗纠缠光信号的情况下极大地增强光子对的时间关联,同时又避免了相位补偿方法中压缩结果对色散介质长度的依赖和高阶色散影响的缺点.这些结果为产生超宽带、超窄时间关联的纠缠光子对提供了理论依据,在量子计量和量子光刻领域有潜在的应用.

啁啾纠缠光子对,关联时间,压缩,二元相位调制

1 引 言

许多量子光学中非经典光的应用,例如高精度量子光学层析[1]和宽带量子信息处理[2,3]都要求纠缠光源具有较大的频谱带宽.产生这种宽带纠缠光源的几种方法已被提出并在实验中使用[4-9].另外一种广泛使用的方法是利用一个线性啁啾准相位匹配(QPM)[10]的非线性晶体,通过自发参量下转换(SPDC)过程产生超宽带的纠缠光子对,这种纠缠光源被称为啁啾纠缠光子对(chirped biphotons)[11-20].利用这种纠缠光源可以获得超窄的HOM(Hong-Ou-Mandel)量子干涉凹陷[11,12].然而,超宽频谱的纠缠光子对并不意味着其关联时间是很短的[11,15,18],而反过来说却是成立的,即超宽频谱是纠缠光子对具有极小关联时间的必要条件.由于在产生啁啾纠缠光子对时会出现二次非线性频率相位因子,从而使得纠缠光子对的时域波包并不是傅里叶变换受限的,因此它们的关联时间被拓宽了,即它们的关联时间必然大于纠缠光谱的宽度的倒数.这种情况和光脉冲的谱与其时域脉冲形状的关系类似.

在诸如量子计量[21]、量子光刻[22]、非经典光的双光子吸收[23,24]、量子时钟同步[25]这些问题中要求纠缠光子对波包具有极短的关联时间.为了压缩啁啾纠缠光子对的关联时间,参考文献[15—20]已报道了利用色散元件(光栅、棱镜或色散介质,如光纤)的相位补偿方法实现啁啾纠缠光子对关联时间的压缩.然而,这种方法具有如下不足：1)纠缠光子对的关联时间及其演化强烈地依赖于色散介质(如光纤)的长度,只有在色散介质的特殊位置才能获得理想的压缩效果;2)色散介质中的高阶色散项将会降低压缩的效率;3)当纠缠光源经过色散介质后会出现信号的损耗,影响最终的探测.

2005年,Silberberg研究小组[26]首次提出并在实验中利用脉冲整形技术[27]实现了纠缠光子对的时域整形.后来,这种技术被称为“纠缠光子脉冲整形”(biphoton pulse shaping)并被广泛用于纠缠光子的操纵实验中[28-32].本文以这种技术为基础来解决啁啾纠缠光子对时间关联的压缩问题.我们的思想来源于一个基本的光学原理,即一个凹透镜会对入射的单色平面波附加一个二次空间相位,使其变成一个发散的球面波.该球面波再经过一个适当的凸透镜使光束聚焦后又可以消除这个二次空间相位,从而将输出光重新变成一个平面波.类似地,我们可以将在啁啾准相位匹配非线性晶体通过SPDC产生纠缠光子对的过程等效地认为是有一个“凹透镜”给纠缠光谱振幅引入了一个二次频率相位因子,从而使其不满足傅里叶变换受限条件.若再有一个频域的“凸透镜”就可以消除二次相位,从而压缩啁啾纠缠光子对关联时间到傅里叶变换受限的宽度.而这样的“凸透镜”可以通过在频域制作菲涅耳波带片来实现.

本文基于菲涅耳波带片的思想[33,34],提出了利用二元相位调制来实现啁啾纠缠光子对关联时间压缩的方法,即通过将啁啾纠缠光子对的光谱划分成菲涅耳频率波带,之后对其实施二元相位(π或0)调制,这样就在频域制作了一个菲涅耳波带透镜,等效地消除了频率二次相位,将宽带的时域纠缠光子波包压缩到傅里叶变换受限的宽度.这种方法可以实现啁啾纠缠光子对关联时间的完美压缩,且避免了相位补偿方法的不足.这些结果将为量子计量和量子光刻的发展提供理论依据.

2 啁啾纠缠光子对的产生

考虑角频率为ωp的单色激光抽运非线性晶体,产生的纠缠光子对频率简并、共线且满足第II类相位匹配条件.信号光和闲散光中心频率均为ω0=ωp/2.描述这种纠缠光子对的波函数可以写为[35]

其中,Ω是相对于中心频率的偏移量.|ω〉s(i)代表频率为ω的信号(闲散)光子态.纠缠光谱振幅F(Ω)决定了纠缠光的所有光谱特性和时间关联特性.反映纠缠光子对关联特性的二阶关联函数G2(τ)由光子对时域波包ψ(τ)的模方决定：

其中,τ是信号光和闲散光间的相对延迟时间.G2(τ)对于统计稳定源只依赖于τ,可以通过基于和频产生过程(SFG)的超快符合探测技术来直接测量得到[26,30],其宽度给出了纠缠光子对间的关联时间,即纠缠时间.纠缠光谱振幅F(Ω)由下式给出：

其中,Δk(Ω)=kp-ks-ki表示纵向相位失配,kr=ωrn(ωr)/c(r=p,s,i)分别表示抽运光、信号光和闲散光的波矢量.L为非线性晶体的长度,c是真空中的光速.折射率n(ωr)可以通过Sellmeier方程计算获得.

现在考虑啁啾准相位匹配的非线性晶体,晶体的二阶极化率χ(2)是空间坐标z的函数：χ(2)(z)=χ0eiK(z),χ0是一常数.逆光栅矢量K是坐标z的线性函数：K(z)=K0-αz,其中,α是啁啾参数,代表线性啁啾的程度.K0满足条件：kp-ks(ω0/2)-ki(ω0/2)-K0=0. 纠缠光谱振幅F(Ω)变为

其中,ζ=z-a,a= Δk(Ω)/2α.可以看到,方程(4)是著名的菲涅耳积分形式.在表示晶体中的色散关系时只考虑光场的一阶近似就足够了[18].此时,相位失配可以写为频率失谐Ω的线性项,即Δk=-ΩD,其中D=(1/us-1/ui)为信号光和闲散光群速度倒数之差.于是,方程(4)变为

其中,

分别为菲涅耳余弦和菲涅耳正弦函数.当啁啾参数很大时,纠缠光谱将会被极大地展宽,最终形状将接近于矩形.根据方程(6),光谱宽度ΔΩ由L±ΩD/α=0决定,于是得到ΔΩ=2αL/D.此时,方程(5)可以近似表示为[18]

图1给出了啁啾参数较大时纠缠光子对的光谱分布.可以看到,光谱分布类似于经典光学中光场在空间的菲涅耳单缝衍射在缝很宽时的衍射结果,这一结果可以认为是由两个菲涅耳直边衍射叠加而成.与宽缝时的菲涅耳衍射进行类比,我们用粗线示意性地给出了等效的“缝”及对应直边的位置,如图1所示.

图1 啁啾纠缠光子对的宽带光谱Fig.1.Broadband spectrum of chirped biphotons.

3 啁啾纠缠光子对关联时间的压缩

将方程(7)代入方程(2)可以得到：

其中,φ(Ω)=2βΩ2,β=D2/8α.可以看到,方程(8)中出现了二次非线性频率相位因子(2βΩ2).由于它的存在,使得光子对时域波包ψ(τ)不满足傅里叶变换受限条件,从而拓宽了纠缠光子对的关联时间G2(τ).这种情况类似于一般的纠缠光子对经色散介质后其时域波包会被展宽一样[36,37].因此,纠缠光子对间的关联时间不能仅仅通过拓宽其光谱的方法来缩短.方程(8)中的积分同样可以表示成误差函数或菲涅耳函数的形式,其时域振幅包络也可以近似成宽度为Δτ=DL[18]的矩形函数.

为了将啁啾纠缠光子对的时域波包压缩到傅里叶变换受限的宽度,就必须设法消除方程(8)中的频率二次相位因子.我们设想通过本文引言中提出的找到一个类似的“凸透镜”的方法来实现这一目标.而这种“凸透镜”可以通过在频域制作菲涅耳波带透镜来实现.以下是我们制作这种菲涅耳波带透镜的方法.根据干涉理论,相位分布对最终干涉结果的贡献由下式决定：

依据菲涅耳波带片的思想[33,34],我们将图1中的纠缠光谱划分成不同的频率波带,使得相邻波带间的相位差为π.由(9)式可以得到波带边界：波带宽度若n从0开始取值,波带宽度可以表示为

此时波带边界为：±Ωn=±ΔΩn/2.新波带在图2(a)中二次相位包络与π的整数倍相位值之间的交叉点处开始.这样,我们将纠缠光谱划分成了许多菲涅耳频率波带,例如,{-Ω0,Ω0},{-Ωn+1,-Ωn},及{Ωn,Ωn+1},如图2(b)所示.这些波带区间是非线性的,第n个波带的宽度正比于波带宽度随着n的增加近似以减小.之后,再对这些频率波带施加二元相位(π或0)调制,这样就等效地在频域制作出了菲涅耳波带透镜.我们希望这个透镜可以消除方程(8)中的二次频率相位因子,从而将啁啾纠缠光子对时域波包压缩到傅里叶变换受限的宽度.图2(b)中n分别为偶数或奇数时的频率波带所对应的ψ(τ)具有相同的相位,即π或0和第n个波带相邻的波带对应的ψ(τ)相差π相位.

图2 (网刊彩色)(a)二次相位包络分布与π的整数倍相位值之间的交叉;(b)对应划分成的菲涅耳频率波带和用于纠缠光子对压缩的二元相位调制(BPM)方案Fig.2.(color online)(a)Intersections between the quadratic phase profile and the phases at integral multiple of π;(b)correspondingly divided Fresnel frequency zones and binary phase modulation(BPM)scheme for biphoton compression.

定义与频率波带{-Ω0,Ω0}对应的光子对时域波包为

等.总的二阶关联函数G2(τ)可以表示为

其中,k为整数.因此,我们可以通过组合不同频率波带并利用二元相位实施调制的方法来操纵对应分段光子对时域波包间的相位关系.如果仅保留所有偶数频率波带或所有奇数频率波带,将会使得分段光子对时域波包在τ=0处产生相长干涉,而在其他位置产生相消干涉.更进一步,若能将所有偶数频率波带或所有奇数频率波带的相位进行二元相位(0,π)调制,使得所有波带片所对应光子对时域波包的相位相同,将在τ=0处产生最大相长干涉,而在其他位置产生最大相消干涉.

根据上述方法数值计算的二阶关联函数的结果如图3所示.作为例子,我们根据参考文献[14,18]选用了一个啁啾周期电极磷酸氧钛钾(C-PPKTP)晶体,其他参数为：L=8 mm,连续激光波长λp=458 nm,D=3 ps/cm,α=412 cm-2,nmax=20.所选的这些参数完全满足参考文献[18]中所要求的矩形近似和线性相位失配这两个条件.图3(a)中蓝线表示具有二次频率相位因子时的原始结果.可以看到,二阶关联函数被拓宽到了2.4 ps的时间宽度,其形状接近于矩形,这正是由于二次相位因子的色散效应所导致的.图3中红点线表示利用图2(b)中将纠缠光谱划分成菲涅耳频率波带并对其施加二元相位调制后的压缩结果,

图3 (网刊彩色)(a)是用BPM压缩结果(红点线)与包含二次相位因子时的原始结果(蓝线)的比较;(b)是归一化的压缩结果(红点线)与归一化的傅里叶变换受限结果(蓝线)的比较Fig.3.(color online)Comparison between the compressed results(red square line)with BPM and the original result with the quadratic phase factor(blue line)in(a),normalized compressed results(red square line)and normalized Fourier-transform limited result(blue line)in(b).

4 讨 论

需要说明的是,在利用我们提出的压缩方案时,需要满足一个限制条件：2αL/D=即啁啾纠缠光子对的频谱宽度ΔΩ应该等于方程(10)中n取最大值所对应的带宽.根据此约束条件,频率波带的数量由下式决定：nmax=(αL2-4π)/4π.当nmax固定时,晶体长度L越大,啁啾参数α必须越小来满足此条件.但这样不利于产生宽带的光子对.当L固定时,需要增加α才能获得宽带光子对,这意味着必须同时增加频率波带的数量.然而,这种情况在实际中会遇到困难,因为划分更多的频率波带对整形精度要求更高.因此,实际中为了获得所需的目标,必须依据上述约束条件恰当地设计各个实验参数.另外,光子对光场的相干时间定义为一阶关联函数的宽度,它是纠缠光子对光谱的傅里叶变换,因此不依赖于(5)式中的相位因子,其仅由光子对谱的逆宽度给出,只要光子对的谱不改变,相干时间也不会改变.因此,本文是在不影响纠缠光源相干时间(HOM干涉)的前提下压缩了关联时间.

尽管本文只给出了理论方法和计算的结果,但我们相信借用文献[29—32]所描述的实验装置,我们可以通过简单的调整来设计实验从而验证本文提出的想法.例如,将其中的SPDC晶体换成啁啾准相位匹配晶体来产生啁啾纠缠光子对,之后将纠缠光源耦合进入脉冲整形器,在脉冲整形器中采用本文提出的菲涅耳频率波带及二元相位方法划分和调制纠缠光谱.因此,本文提出的理论方案具有实验实现的可行性,而这也将是我们下一步的工作.

5 结 论

本文从理论上证明了通过将啁啾纠缠光子对的光谱划分成菲涅耳频率波带并用二元相位进行调制就可以压缩啁啾纠缠光子对的关联时间.这种方法等效于在频域制作了一个菲涅耳波带透镜从而消除了二次相位因子,产生了傅里叶变换受限的纠缠光子对,从而在没有纠缠光信号损耗的情况下极大地增强了纠缠光子对的时间关联,并且规避了相位补偿方法中的不足.利用此方法可以产生同时具有超宽带和超短关联时间的纠缠光源.实验中,压缩的结果会受到相位调制精度的影响,调制精度越高,效果越理想.解决本文问题的物理核心是如何消除或补偿二次相位因子,对这一问题的研究具有处理二次相位的普遍性,因此,本文提出的方法也适用于双光子吸收过程[38](two-photon absorption),二次谐波产生过程[39](second harmonic generation)及啁啾脉冲压缩等与二次相位相关的其他领域.此外,压缩的啁啾纠缠光子对波包及其对应的二元相位还可以用在基于纠缠光子对光谱编码[31]的量子通信网络中.

[1]Carrasco S,Torres J P,Torner L,Sergienko A,Saleh B E A,Teich M C 2004Opt.Lett.29 2429

[2]Khan I A,Howell J C 2006Phys.Rev.A73 031801

[3]Law C K,Walmsley I A,Eberly J H 2000Phys.Rev.Lett.84 5304

[4]Dauler E,Jaeger G,Muller A,Migdall A L,Sergienko A V 1999J.Res.Natl.Inst.Stand.Technol.104 1

[5]Carrasco S,Nasr M B,Sergienko A V,Saleh B E,Teich M C,Torres J P,Torner L 2006Opt.Lett.31 253

[6]O’Donnell K A,U’Ren A B 2007Opt.Lett.32 817

[7]Hendrych M,Shi X J,Valencia A,Torres J P 2009Phys.Rev.A79 023817

[8]Katamadze K G,Kulik S P 2011JETP Lett.112 20

[9]Okano M,Okamoto R,Tanaka A,Subashchandran S,Takeuchi S 2012Opt.Express20 13977

[10]Hum D S,Fejer M M 2007C.R.Phys.8 180

[11]Nasr M B,Carrasco S,Saleh B E A,Sergienko A V,Teich M C,Torres J P,Torner L,Hum D S,Fejer M M 2008Phys.Rev.Lett.100 183601

[12]Nasr M B,Minaeva O,Goltsman G N,Sergienko A V,Saleh B E,Teich M C 2008Opt.Express16 15104

[13]Fraine A,Minaeva O,Simon D S,Egorov R,Sergienko A V 2012Opt.Lett.37 1910

[14]Antonosyan D A,Tamazyan A R,Kryuchkyan G Y 2012J.Phys.B:At.Mol.Opt.Phys.45 215502

[15]Harris S E 2007Phys.Rev.Lett.98 063602

[16]Sensarm S,Yin G Y,Harris S E 2010Phys.Rev.Lett.104 253602

[17]Tanaka A,Okamoto R,Lim H H,Subashchandran S,Okano M,Zhang L B,Kang L,Chen J,Wu P H,Hirohata T,Kurimura S,Takeuchi S 2012Opt.Express20 25228

[18]Brida G,Chekhova M V,Degiovanni I P,Genovese M,Kitaeva G K,Meda A,Shumilkina O A 2009Phys.Rev.Lett.103 193602

[19]Brida G,Chekhova M V,Degiovanni I P,Genovese M,Kitaeva G Kh,Meda A,Shumilkina O A 2010Phys.Rev.A81 053828

[20]Chekhova M V,Shumilkina O A 2009JETP Lett.90 172

[21]Giovannetti V,Lloyd S,Maccone L 2011Nat.Photon.5 222

[22]D’Angelo M,Chekhova M V,Shih Y 2001Phys.Rev.Lett.87 013602

[23]Gea-Banacloche J 1989Phys.Rev.Lett.62 1603

[24]Georgiades N P,Polzik E S,Edamatsu K,Kimble H J,Parkins A S 1995Phys.Rev.Lett.75 3426

[25]Valencia A,Scarcelli G,Shih Y 2004Appl.Phys.Lett.85 2655

[26]Pe’er A,Dayan B,Friesem A A,Silberberg Y 2005Phys.Rev.Lett.94 073601

[27]Weiner A M 2011Opt.Commun.284 3669

[28]Zäh F,Halder M,Feurer T 2008Opt.Express16 16452

[29]Lukens J M,Dezfooliyan A,Langrock C,Fejer M M,Leaird D E,Weiner A M 2013Opt.Lett.38 4652

[30]Lukens J M,Dezfooliyan A,Langrock C,Fejer M M,Leaird D E,Weiner A M 2013Phys.Rev.Lett.111 193603

[31]Lukens J M,Dezfooliyan A,Langrock C,Fejer M M,Leaird D E,Weiner A M 2014Phys.Rev.Lett.112 133602

[32]Lukens J M,Odele O,Langrock C,Fejer M M,Leaird D E,Weiner A M 2014Opt.Express22 9585

[33]Hecht E 1989Optics(2nd Ed.)(Reading,MA：Addison-Wesley)pp434-458

[34]Broers B,Noordam L D,van Linden van den Heuvell H B 1992Phys.Rev.A46 2749

[35]Mandel L,Wolf E 1995Optical Coherence and Quantum Optics(Cambridge：Cambridge University Press)

[36]Chekhova M V 2002JETP Lett.75 225

[37]Valencia A,Chekhova M V,Trifonov A,Shih Y 2002Phys.Rev.Lett.88 183601

[38]Li B H,Xu Y G,An L,Lin Q L,Zhu H F,Lin F K,Li Y F 2014Opt.Lett.39 2443

[39]Li B H,Xu Y G,Zhu H F,Lin Q L,An L,Lin F K,Li Y F 2014J.Opt.Soc.Am.B31 2511

PACS:42.65.Lm,42.50.Dv,03.65.Ud DOI:10.7498/aps.66.044206

1)(中国科学院国家授时中心,中国科学院时间频率基准重点实验室,西安 710600)
2)(西安科技大学理学院,西安 710054)
3)(陕西师范大学物理学与信息技术学院,西安 710062)

Compression of correlation time of chirped biphotons by binary phase modulation∗

Li Bai-Hong1)2)†Wang Dou-Dou2)Pang Hua-Feng2)Zhang Tao2)Xie You2)Gao Feng2)Dong Rui-Fang1)‡Li Yong-Fang3)Zhang Shou-Gang1)

1)(Key Laboratory of Time and Frequency Primary Standards,National Time Service Center,Chinese Academy of Sciences,Xi’an 710600,China)
2)(College of Science,Xi’an University of Science and Technology,Xi’an 710054,China)
3)(School of Physics and Information Technology,Shaanxi Normal University,Xi’an 710062,China)

16 September 2016;revised manuscript

24 November 2016)

Chirped biphotons generated via spontaneous parametric down-conversion in chirped quasi-phase-matched nonlinear crystals have ultrabroadband frequency spectra.However,the presence of quadratic frequency phase factor restricts their applications in quantum metrology and quantum lithography due to simultaneously lengthening the correlation times of biphotons.The key point to improve the temporal correlation of chirped biphotons is how to compensate for or remove the quadratic frequency phase factor.Phase compensation methods have been demonstrated to solve this problem in earlier reports.But the compressed efficiencies of these methods are strongly dependent on the length of the utilized dispersive medium and decreased by the higher-order dispersion of the dispersive medium.In this paper,based on the phase transform of a lens for a light field in spatial domain,we theoretically propose a method of the equivalent removal of the quadratic phase by realizing a Fresnel-zone lens-like modulation on the biphotons spectrum in frequency domain,thereby compressing the correlation time of chirped biphotons to the Fourier-transform limited width.By analogy to the idea of Fresnel wave zone plate,this lens-like modulation can be realized by dividing the biphoton spectrum into Fresnel frequency zones and applying only binary spectral phase(0,π)sequentially to these zones.The theoretical results show that the correlation time width of chirped biphotons can be reduced,and the correlation signal intensity can be increased compared with the original one,by a factor about 100 and 30,respectively.The physical reason is that these Fresnel frequency zones under binary spectral phase modulation will lead to constructive interference at zero delay and destructive interference elsewhere.This method can significantly enhance biphoton time correlation without biphoton signal loss and avoids the limitations of phase compensation methods.Therefore,we can obtain biphotons with both ultra-broad bandwidth and ultra-short correlation times by using our proposed method.The attainable compression efficiency is constrained by the division resolution of the Fresnel frequency zones and the precision of applied binary phase modulations.It should be noted that a constraint condition about crystal length,chirpparameter and the number of frequency zones is summarized in designing the experimental parameters for the desired compression goal.Since binary spectral phase π and 0 are easy to obtain and calibrate in practice,we thus believe that our proposed method is feasible to implement experimentally.Moreover,the proposed method can also be generalized to other fields relating to the quadratic phase factor,such as two-photon absorption,second-harmonic generation and chirped pulse compression.

chirped biphotons,correlation times,compression,binary phase modulation

:42.65.Lm,42.50.Dv,03.65.Ud

10.7498/aps.66.044206

∗国家自然科学基金(批准号：11504292,11504291,11604260,91336108,11174282,Y133ZK1101)、中组部首批青年拔尖人才支持计划(组厅字[2013]33号)、中国科学院“前沿科学重点研究计划项目”(批准号：QYZDB-SSW-SLH007)、陕西省自然科学基础研究计划项目(批准号：2016JQ1036)和陕西省留学归国人员择优资助优秀类项目资助的课题.

†通信作者.E-mail：baihongli@xust.edu.cn

‡通信作者.E-mail：dongruifang@ntsc.ac.cn

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.11504292,11504291,11604260,91336108,11174282,Y133ZK1101),the “Young Top-notch Talents” Program of Organization Department of the CPC Central Committee,China(Grant No.[2013]33),CAS Frontier Science Key Research Project(Grant No.QYZDB-SSWSLH007),the Natural Science Basic Research Plan in Shaanxi Province of China(Grant No.2016JQ1036),and Research Foundation for the Excellent Returned Overseas Chinese Scholars of Shaanxi Province,China.

†Corresponding author.E-mail：baihongli@xust.edu.cn

‡ Corresponding author.E-mail：dongruifang@ntsc.ac.cn