莫莉薇

【摘要】本文以《方差》一课的磨课经历为例，论述了数形结合思想在初中数学数据分析教学中的应用。

【关键词】初中数学 数形结合 方差

磨课

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2017）06A-0078-03

《统计与概率》是初中数学四个学习领域之一。由于这部分课程内容在中考中所占的比例相对较少（15%），课程目标以体验、认识、了解、简单运用为主，所以在实际教学中，教师往往直接给出相应的计算公式，然后通过一系列的练习让学生熟背公式，熟练计算。这样的教学方式表面上看非常高效，实际上并不符合学生的认知规律，忽略了计算公式的推导过程和统计量概念的产生和发展形成过程，学生并没有真正地理解公式，也不利于学生统计观念的形成。那么《统计与概率》的教学该如何设计呢？下面以人教版八年级下册《数据的波动程度》第一课时的磨课经历为例，谈一谈笔者对《统计与概率》中的数据分析教学的认识。

一、磨课过程

（一）第一次试教

1.教学过程

（1）创设情境

农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子。选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题.为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，农科院各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量（单位：t）如表一：

根据这些数据，你认为农科院应该选择哪种甜玉米种子呢？

学生通过计算平均数得出x甲=7.537，x乙=7.515。部分学生觉得甲玉米种子的平均产量稍大一些，选甲玉米种子；另一部分学生觉得两种玉米种子的平均产量相差不大，应该再对比其他方面的数据。教师顺势引导学生分析两组数据的波动情况。

（2）引入方差计算公式

教师直接告诉学生方差可以刻画一组数据波动的大小，即方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小，并给出方差的计算公式：

s2=[（x1-x） 2+（x2-x） 2+…+（xn-x） 2n]，

随后对公式进行分析解释。

（3）运用与巩固

①在某样本方差的计算公式s2=[150（x1-6） 2+（x2-6） 2+…+（x50-6） 2]中，数字50和6依次表示样本的（ ）

A.方差，平均数 B.平均数，容量

C.容量，方差 D.容量，平均数

②在某次英语竞赛中，组委会通过计算，得出甲、乙、丙三个学校的学生成绩的方差分别为：

[s2甲=15.2，s2乙=6.1，s2丙=10.4]

则 学校的学生成绩波动较小。

③在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了芭蕾舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演员的身高（单位：cm）分别如下，哪个芭蕾舞团女演员的队列看上去更整齐？

甲：163，164，164，165，165，166，166，167；

乙：163，165，165，166，166，167，168，168。

2.课后研讨

该教学过程的优点：学生能熟记方差的计算公式且计算熟练，可以正确完成相关的习题。

该教学过程的不足：学生的学习积极性不够高，课堂参与度低；学生对方差公式的产生和发展过程以及方差这个统计量为什么能表示一组数据的波动大小等一无所知，难以回答出难度较大的深层次的提问。

修改建议：（1）更换一个学生更为熟悉、感兴趣的引入情境，用于提高学生的学习积极性和明确学习方差的必要性；（2）应更为直观地向学生展示方差刻画数据离散程度的合理性；（3）初中学生机械记忆力较强，但分析能力较弱，教师在教学时应该在方差公式的推导方面对学生多加引导。

（二）第二次试教

1.教学过程

（1）创设情境（选取我校的传统体育项目、体育中考项目：抛绣球为背景）

表二是李强和王朋两位同学练习抛绣球时的10次进球数，若学校要从中选拔一人参加全市运动会，你能给些建议吗？

学生通过计算发现两人进球数的平均数、中位数、众数都相同，选择出现困难。教师通过引导学生对平均数、中位数、众数进行对比，说明两组数据的集中趋势相同，引出要知道各数据之间的差异情况就要考察数据的波动程度，以此判断哪位同学的发挥更稳定。

（2）数形结合，分析数据的波动情况

教师用图1表示表二中的数据并让学生尝试说明两组数据的波动情况。

随后教师提问：是否能用一个量来刻画图中看出的结果？

（3）方差计算公式

教师告诉学生，在统计中常用方差来衡量一组数据的波动的大小，方差的计算公式为：

s2=[（x1-x） 2+（x2-x） 2+…+（xn-x） 2n]，并对公式进行分析解释。

学生运用方差的计算公式分别计算之前两组数据的方差，并与从图中看出的结果进行对比。

最后，师生归纳得到方差是刻画数据波动大小的统计量，方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。

（4）运用与巩固（练习题与第一次试教相同）

2.课后研讨

該教学过程的优点：抛绣球情境的引入，既激发了学生的学习兴趣，又让学生明确了学习方差的必要性；用散点图的方式比较数据的波动情况，使学生对数据偏离平均数的情况有一个直观的认识，再对比方差公式的计算结果，直观地证实了方差刻画数据离散程度的合理性。

该教学过程的不足：教师直接给出方差计算公式，学生对公式的形成、发展过程一无所知，不利于学生对方差概念的理解。

修改建议：教师在教学时，应在方差定义的形成、发展过程和方差公式的组成结构的分析上多下功夫，引导学生结合散点图，由抽象到直观地理解方差计算公式的推导过程——先求差，再求差的平方和，最后求差的平方的平均值。

（三）第三次试教

1.教学过程

（1）创设情境（与第二次试教相同）

（2）数形结合，分析数据的波动情况（与第二次试教相同）

（3）方差的概念

師：请观察两组数据的图象，如图2所示，思考下列问题。

①我们说的波动，是以图中哪一个量为基准的？

答：进球的平均数6。

②求每个数据与平均数的偏差，可以怎样运算？

答：分别求差：x1-x，x2-x，…，xn-x。

③求所有数据与平均数的偏差，可以怎样运算？

答：求和：（x1-x）+（x2-x）+…+（xn-x）。

④哪种运算可以使偏差的值非负，避免相互抵消？

答：方法可为：[x1-x]+[x2-x]+…+[xn-x]或（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2。

练习：请用你刚才总结出的计算方法，评价下列两组数据的波动情况。

甲：9 1 0 -1 -9

乙：6 4 0 -4 -6

学生通过计算发现，甲、乙两组数据[x1-x]+[x2-x]+…+[xn-x]的计算结果一样，若用[x1-x]+[x2-x]+…+[xn-x]的值的大小表示数据的波动情况，那么甲、乙两组数据的波动情况一样，与实际不符；若用（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2的值的大小表示数据的波动情况，那么计算结果为甲组数据波动大，与实际相符。于是得出结论：在衡量一组数据的波动“功能”上，（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2更准确一些。

⑤如果两组数据个数不同，用求和的方式比较大小，可行吗？你有什么方法解决？

答：求平均数：[1n][（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2]。

教师归纳方差概念：设有n个数据x1，x2，…，xn，各数据与它们的平均数的差的平方分别是（x1-x）2，（x2-x）2，…，（xn-x）2，我们用这些平方的平均数，即[1n][（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2]的大小来衡量这组数据的波动的大小，并把它叫做这组数据的方差，记作s2。

⑥结合方差的计算式子，说说方差是怎样刻画数据的波动情况的。

答：当数据分布比较分散（即数据在平均数附近波动较大）时，各个数据与平均数的差的平方和较大；当数据分布比较集中时，各个数据与平均数的差的平方和较小。方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。

（4）运用巩固

①在某样本方差的计算公式s2=[1n][（x1-6）2+（x2-6）2+…+（x50-6）2]中，数字50和6依次表示样本的（ ）

A.方差，平均数 B.平均数，容量

C.容量，方差 D.容量，平均数

②在某次英语竞赛中，组委会通过计算，得出甲、乙、丙三所学校学生成绩的方差分别为：[s2甲=15.2，s2乙=6.1，][s2丙=10.4]，则 学校的学生成绩波动较小。

③（请小组分工合作）用条形图表示下列各组数据，计算并比较它们的平均数、极差和方差，体会方差是怎样刻画数据的波动程度的。

（1）6 6 6 6 6 6 6

（2）5 5 6 6 6 7 7

（3）3 3 4 6 8 9 9

（4）3 3 3 6 9 9 9

2.课后研讨

整堂课使用数形结合的方式将方差公式的运算与散点图的波动串联起来，课堂新颖有趣又逻辑严密，学生对方差概念的理解由抽象转化为直观，巧妙地突破了难点。

二、磨课过程感悟

磨课是一个用心打磨的艰辛的过程，也是一个教师教学水平获得渐进提升的过程。笔者经历了“三次备课，两轮打磨”，对教材的挖掘更加深入，教学理念得到更新，教学设计变得新颖。

教材在分析引言中甲、乙两种甜玉米的产量情况时，利用两个散点图比较两组数据的波动情况，随后直接给出方差的概念，然后依据概念给出公式，并从方差公式的结构特点上分析了方差是怎样刻画数据的波动情况的。但教材对方差计算公式的推导过程以及方差这一概念的形成过程没有深究。如果教师在教学时不对这些知识难点加以强调，学生很可能无法直观、透彻地认识方差的概念和意义。为了突破这个知识难点，笔者在教学设计中使用了问题串引导学生先从“形”的层面关注散点图中单个点的波动情况，进而扩展到关注所有点的波动情况；再从“数”的层面将对比数据的波动情况对应地转化为先求差，再求差的平方和，最后除以样本容量求差的平方的平均值。数形结合地推导出方差的计算公式后，再给出方差的概念，更有利于学生理解方差概念的形成、发展过程。这种将散点图显示数据的波动和方差刻画数据的波动结合起来的数形结合的思想方法，更有利于学生多角度地理解方差的概念和意义。

著名的数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形无数时难入微。”因此，在数据分析教学中适当地运用数形结合的思想方法，通过以形助数、以数解形，将抽象的概念直观化，有利于学生对知识的理解，更有助于学生统计观念的形成。 （责编 刘小瑗）