安玉莲　李俊玲

摘 要：本文围绕“以学生为主体、教师为主导”“以教学效果为导向”的教学思想，总结了常微分方程教学中的一些思考和做法，探讨常微分方程课的教学方法改革。

关键词：常微分方程；教学方法；教学效果

常微分方程是基础数学的重要分支之一，它是研究客观世界量与量之间关系的重要工具，广泛地应用于物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融等领域。常微分方程课程是我校应用数学系的一门专业基础课，同时又是数学分析的后继课程。这门课程不仅可以让学生领略到丰富的数学知识，而且引导学生用新的视角认识世界，对培养学生的数学思维起到了非常重要的作用。

如何在常微分方程的教学中，提高学生的积极主动性，发挥教师的主导作用，使教学方式由教学投入，即以教学内容、学习年限为导向，转变为教学产出，即以学习效果为导向，是教学改革中大家比较关注的问题。在常微分方程课程的教学过程中，笔者有以下的构想和尝试。

一、“任务式”教学——突出学生主体，体现教师主导

目前，课堂教学的一大弊端是教师包办和代劳太多，而学生的学习兴趣不高，“学生的主体作用”和“教师的主导”体现得都不明显。学生习惯被动地接受知识，而不是主动地学习和探索知识，很难从学习中感受到快乐。为了改变这一现状，教师在教学过程中，有意识地布置一些学习任务，要求学生去完成。这个任务绝不局限于课后的习题。

比如，常微分方程第一节绪论课，主要介绍微分方程的背景知识和基本概念。常规为两课时，课堂上能够介绍的内容非常有限。教师在教学中布置学习任务：

了解常微分方程在生产生活中的应用；

了解常微分方程的发展历史和关键人物；等等。

学生可以利用各种资源，主动查找和学习相关的资料，以作为课堂内容的有效补充。为了督促学生完成任务，教师要求学生在规定时间内以论文、PPT、影像资料等多种形式提交学习成果，并及时记录和交流，任务完成情况作为学习成绩的一部分加以体现。教师则在有限的课堂时间内，重点讲解“数学单摆”“人口模型”“传染病模型”等几个非常经典的微分方程模型，使学生了解和认识应用微分方程“思考问题--建立模型—解决问题”的过程。这样的设计，突出了教师讲解画龙点睛的主导作用，也调动了学生学习的主动性，充分发挥其主体作用。

课后学生分两次完成作业，找到了鉴别名画的真伪、测定考古发掘物的年龄、深水炸弹在水下的运动、物资的供给、红绿灯问题、需求与物价之间的关系、减肥的数学模型等诸多课本上没有的例子；制作了精美的PPT，介绍常微分方程的发展历程；从方法论的角度出发，学习和总结利用常微分方程建模的常用方法。通过学习，学生对常微分方程背景知识和广泛的应用性有了更充分的认识，对应用这个工具解决问题的方法有了更加深刻的理解。这样的作业，突破课堂限制，不仅使学生学到了知识，更主要的是，在学习的过程中学会了资料的搜集与整理以及论文撰写的基本知识与格式，提高了协作完成任务的能力。这样的学习方式，使学生成为学习的主角，而教师在学习活动中的主导和组织作用也得到了充分的发挥。

二、构建以教材为中心的“辐射式”教学内容体系

除教材知识外，“辐射式”构建本课程外围学习内容，建设一个以教材为中心，以外围资料为辅助的教学内容体系。微分方程的发展历久弥新，是一门前沿性非常强的课程。教材知识虽然经典，但是比较陈旧，不能体现这门课程前沿性的特点。为此，教师在授课过程中应给学生提供比较恰当的、既结合学习内容又比较新或者比较经典的论文资料，供学生阅读学习。在搜集资料的过程中，注重提供一定比例的外文资料。通过阅读与学习这些资料，使学生提高了学习兴趣，开阔了视野。同时，积累了专业词汇，培养了阅读外文学术文献的能力，提升了学习品质，为今后的学习奠定了良好的基础。这个教学内容体系，随着教学与科研的发展不断更新和补充“新鲜血液”，经过几轮的积累，就会形成一个丰富的、动态的常微分方程课程资料库。

不仅如此，还应要求学生学习Matlab、Maple、Mathematic等常用的工具类数学软件，并且能够把它应用到常微分方程课程的学习中，解决一些基本问题，如画相图、积分曲线（面）、求各类常微分方程的近似解等。

三、“过程化”教学——注重学习过程的管理和引导

为了体现学生是学习的主体，改变单一的考试办法，应分阶段分任务进行考核。考核内容有：

第一，期中、期末考试。

第二，作业考核。

过程考核分课内作业和课外作业。课内作业是常规的课后习题；课外作业有课堂笔记、文献阅读、本课程相关资料整理等。

第三，课外学习内容考核。

主要有数学软件学习、实验课内容学习和操作等。各类学习内容在考核中都占有一定的比例，以此调动学生学习的主动性，使得总评成绩能够比较全面地反映学生的学习情况。

在考核方式的比例分配和成績评定过程中，引入学生的意见，甚至部分展示内容中可以让学生的评分占一小部分。

四、“建模化”教学——突出应用，提高能力

微分方程来自于实践，主要解决实践中遇到的各种问题，建模是利用微分方程解决问题的第一步，也是关键一步。常微分方程教学应该尽可能地体现这一特点。

笔者在每一部分的教学中都尽可能引入实例，展现建模过程。完成知识点学习之后，每一章也都以解决一个实例问题作为结束。

在教学过程中，笔者根据教学进度，设计了四节“实验课”内容，体现出微分方程课程的实用性的特点。比如，在学习了解对初值的连续依赖性之后，为了使学生了解参数变化对方程解的影响，教学中增加了关于“混沌”的实验内容。通过对经典的Logistic模型数值解的计算，在计算机上让学生看到混沌现象的发生。在学习了微分方程组之后，增加了以了解微分方程组的应用和求解为目的的实验课——“盐水浓度计算”。在这个试验中，一个复杂过程被拆分成较简单的子系统，一个独立的微分方程描述一个子系统，于是一个微分方程组描述整个系统。

实验课环节比较完整地体现了问题的提出、分析、建模、解决等过程。学生使用计算机软件进行模拟或者近似解计算，提高了解决问题的能力。

五、“开放式”教学

学生的学习不拘泥于课堂，除了前面介绍的几种方法外，笔者还注重营造学术氛围，使学生感受到研究学习的乐趣。

一是请校内外专家为学生作比较通俗的学术报告，介绍微分方程领域的前沿工作、发展动态、趋势和应用，以及学习数学的方法等。通过这些学术活动，使学生在了解前沿的数学知识的同时，能够感受数学与数学家的魅力，寓教于乐、寓教于趣。

二是组织小型“学术活动”，通过分组学习，对于作业完成比较好的学生，在课堂上留5～10分钟时间，请他们给班级同学介绍成果。这项活动极大地激发了学生的学习热情和表现欲望，效果非常好。

六、“研究式”教学——通过师生的科研活动，促进教学，培养兴趣

微分方程课程是一门前沿性非常强的课程，即便是基本的知识点，也可以挖掘出可以研究的科研课题。

首先，在教学中，引导学生选择课题，参与科研活动，发现和完成一些小的科研任务，学生的创造力得到了很好的开发和提高。比如：课题组教师指导学生完成论文《幂级数法求解微分方程的近似解》《一类双反馈系统正解的稳定性研究》《人口流动对传染病的影响》等，基于课堂教学，又高于课本经典内容，这些研究成果的整理发表，极大地激发了学生的学习热情。

其次，我们认识到科研活动是教师保持创造性的重要保障，教师应该科研与教学并重，教学相长。只有知识渊博，富有创造性的教师，才有可能培养出具有创新精神的人才。只有富有教育责任感和工作热情的教师，才有可能引导学生进行富有成效的学习。在工作中，常微分方程教学团队的教师成立有非線性分析研究所，每个人都主持有省部级或者国家级科研项目，为不断提高这门课程的教学质量提供了重要保障。

总之，经过几年的教学实践，我校努力践行“学生为学习主体、教师为学习主导”的原则，以课堂教学为核心，同时突破课堂有限的时空限制，通过各种教学形式，促使学生主动学习，积极探索。在鼓励和帮助学生获得知识的同时，培养学生的学习能力、分析解决问题的能力，获得了有效的学习成果。同时也真正体现出教师在教学过程中引导、指导、主导的作用。

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