安徽省合肥市第二中学 (邮编：230061)

少点套路 让解题自然一点
——记一节高三学生作业评讲课

安徽省合肥市第二中学余其华(邮编：230061)

1 学生作业题实录

(1)求a,b；(2)求证：f(x)>1.

学生解答4(1)略；

(2)要证f(x)>1，只要证f(x)min>1.

然后，就无法进行下去了.

题2 (2014陕西卷改编)设函数f(x)=ln(x+1),g(x)=xf′(x),若f(x)≥ag(x)对任意x≥0恒成立，求实数a的取值范围.学生解答当x=0时，a∈R，只需研究f(x)≥ag(x)对任意x>0恒成立.

但由于F(x)在(0,+)上无法求出最小值(事实上F(x)在(0,+)上无最小值)，于是不知所措，只得到此止步了.

2 错解分析与正解

2.1 题1的解法分析

题1的解法之所以难以完成是因为f(x)的导数不能判断符号进而无法求出其最值，事实上f(x)在(-,+)也无最小值.当我们遇到这种情况时应冷静分析不等式的结构，从重组、优化目标式等方向寻求突破.

这样，目标式的左右两边可分别构造两个相对简单的函数

分别求导，可得

从而原不等式成立.

2.2 题2解法分析

题2学生使用了分离变量法，这是处理恒成立问题的一种常用方法(满满的都是套路)，但在现阶段学生对函数极限知之甚少的情况下，该法不能操作下去.事实上，面对f(x)≥ag(x)对任意x≥0恒成立，分离并不是唯一选择.

F′(x)=ln(1+x)-(a-1),

注意到x≥0时,ln(1+x)+1≥1,于是

(2)当a>1时，由F′(x)=0,解得x=ea-1-1,F(x)在(0,ea-1-1)单调递减，在(ea-1-1,+)单调递增.所以在区间(0,ea-1-1)内一定存在一个实数x0，使得F(x0)

综上，a≤1即为所求.

以上两题的解题实践表明，在指导学生进行解题总结时不宜将个别题目的方法上升为放之四海而皆准的金科玉律，教师应引导学生把更多的精力放在分析条件的合理转化上，方法依题而变，因题施策，避免落入套路的陷阱中.

3 作业跟踪指导

生1：原不等式等价于

面对上式，无法突破.思考约1分钟，一学生自觉地重新审视构造的函数，并做改进如下：

生2：原不等式等价于

所以g(x)在[1,2]上单调递增，g(x)≥g(1)=1;

从而g(x)>h(x)对于任意的x∈[1,2]恒成立.

故原不等式成立.

以上所展现的学生利用熟知的结论解题受阻的情况，在一线教师的课堂上、批改的作业本上几乎每天都在上演.究其根源，学生过于迷恋现成的结论，把以往解题总结的规律生硬地照搬到不适宜的情境中.我们知道学生的解题行为往往折射出教师的教学行为.当前教学改革从关注三维目标到追求学科核心素养,在此背景下指导学生选择自然的、朴素的解题路径，少一些套路式的总结，多一些个性化的分析，应成为一线老师重塑教学形态、重建学习方式的必然追求.

2017-03-25)