APP下载

非线性耦合KdV方程组的一种新求解法

2017-07-18伊丽娜套格图桑

数学杂志 2017年4期
关键词:孤子方程组结论

伊丽娜,套格图桑

(内蒙古师范大学数学科学学院,内蒙古呼和浩特 010022)

非线性耦合KdV方程组的一种新求解法

伊丽娜,套格图桑

(内蒙古师范大学数学科学学院,内蒙古呼和浩特 010022)

本文研究了构造非线性耦合KdV方程组的无穷序列复合型新解的问题.利用函数变换与辅助方程相结合的方法,获得了非线性耦合KdV方程组的自由Riemannθ函数、Jacobi椭圆函数、双曲函数和三角函数两两组合的无穷序列复合型新解.这些解包括了双弧子解、双周期解和弧子解与周期解复合的解.

非线性耦合KdV方程组;函数变换;非线性叠加公式;无穷序列复合型新解

1 引言

孤立子理论中研究了KdV方程

的求解问题,并获得了许多新成果[1-6],这里α是常数.

文献[7]利用延拓结构理论,研究了KdV方程组

的延拓结构问题,获得了新结果.

当方程(2)中取v=v(x,t)=0(或方程(3)中取u=u(x,t)=0)时,获得KdV方程.

文献[8]用达布变换法,构造了KdV方程组

的由双曲函数和三角函数组合的多孤子新解.

的可积性,并获得了由双曲函数和三角函数组合的多孤子新解.另外,用第一种椭圆方程,获得了Jacobi椭圆函数单孤子新解,这里γi和δj(i=j=1,2,3,4,5)是常数.

本文用辅助方程法[10-23],研究了非线性耦合KdV方程组

的求解问题,通过三个步骤,构造了非线性耦合KdV方程组的无穷序列复合型新解,这里αi和βj(i=j=1,2,3,4)是常数.

步骤一,给出一种函数变换,把非线性耦合KdV方程组的求解问题转化为两种非线性常微分方程的求解问题;步骤二,给出两种非线性常微分方程的新解、Bcklund变换和解的非线性叠加公式;步骤三,利用两种非线性常微分方程的相关结论,构造了非线性耦合KdV方程组的无穷序列复合型新解,这里包括了Riemannθ函数、Jacobi椭圆函数、双曲函数和三角函数组合的双孤子解、双周期解和孤子解与周期解复合的解.

2 KdV方程组(8),(9)的无穷序列复合型新解

2.1 KdV 方程组(8),(9)与函数变换

通过函数变换

将KdV方程组(8),(9)的求解问题转化为两个非线性常微分方程的求解问题,这里λ,µ,ν和ω是待定常数,而且ω.

定理1当β1=β4,β3=β4,α3=α1,β2=α2,α4=α1,β4=α1和β4=α4时,通过函数变换(10)和(11),将KdV方程组(8),(9)的求解问题化为如下两个非线性常微分方程的求解问题

方程(12)和(13)可写作

这里c0,c1,c2和c3是任意常数.

证当β1=β4,β3=β4,α3=α1,β2=α2,α4=α1,β4=α1和β4=α4时,将函数变换(10)和(11)代入KdV方程组(8),(9)后获得非线性常微分方程(12),(13).

推论1在定理1的条件下,若µ=λ,ν=ω,则常微分方程(14)和(15)转化ξ=η=λx+ωt为变量的不同常微分方程.

定理2当β3=α4,α3=α1,β2=α2,β4=α1,β1=α4时,通过函数变换 (10)和 (11),将KdV方程组(8),(9)的求解问题化为如下两个非线性常微分方程的求解问题.

方程(16)和(17)可写作

这里m0,m1,m2和m3是任意常数.

证当β3=α4,α3=α1,β2=α2,β4=α1,β1=α4时,将函数变换 (10)和 (11)代入KdV方程组(8),(9)后获得非线性常微分方程(16),(17).

推论2在定理2的条件下,若µ=λ,ν=ω,m0/m2,m1/m3,则常微分方程(18)和(19)转化ξ=η=λx+ωt为变量的不同常微分方程.

2.2 非线性常微分方程(18)

下面给出第一种椭圆方程(20)与非线性常微分方程(18)的拟B¨acklund变换

这里a,b和c是常数.

定理3当非线性常微分方程(18)与第一种椭圆方程(20)的系数满足关系

时,两种非线性常微分方程(18)和(20)之间存在如下拟B¨acklund变换

这里

f,g和h是非零任意常数.

证在定理3的条件下,将第一种椭圆方程(20)和关系(21)代入非线性常微分方程(18)获得恒等式.

推论3当

时,将第一种椭圆方程(20)的解

代入B¨acklund变换(21)可得到非线性常微分方程(18)的如下解

这里

A,ϑ,f,g和h是非零任意常数.

用第一种椭圆方程(20)的Acn(ϑξ,k),Adn(ϑξ,k)等解与B¨acklund变换等相关结论[20-23],通过定理3,可获得非线性常微分方程(18)的无穷序列新解.这些解包括光滑解和紧孤立子解.

推论4在定理3的条件下,当k=1(或k=0)时,通过拟B¨acklund变换(21),可以获得非线性常微分方程(18)的双曲函数和三角函数无穷序列解.

当k=1时,将

分别代入拟B¨acklund变换(21)可得到非线性常微分方程(18)的纽状孤波解和钟状孤波解.当k=0时,将

分别代入拟B¨acklund变换(21)可得到非线性常微分方程(18)的奇异三角函数周期解和三角函数周期解.

非线性常微分方程(14)(或(19))与第一种椭圆方程(20)之间也存在拟B¨acklund变换(这里未讨论).

2.3 KdV方程组(8),(9)的无穷序列复合型新解

将非线性常微分方程(14)和(15)(或(18)和(19))的无穷序列新解分别代入公式

即可得到KdV方程组(8),(9)的无穷序列复合型新解.这里Pm(ξ)和Qn(η)由(14)和(15)(或(18)和(19))来确定.

2.3.1 当m0m1m2m30时,构造KdV 方程组(8),(9)的无穷序列复合型新解

当非线性常微分方程(18)的系数2m1,2m0,满足定理 3 的条件时,通过叠加公式

即可获得非线性常微分方程(18)的Riemannθ函数与Jacobi椭圆函数无穷序列新解.

当非线性常微分方程(19)与第一种椭圆方程(20)的系数,2m2,2m3,a,b和c,满足关系式

时,通过叠加公式

可获得非线性常微分方程(15)的Riemannθ函数与Jacobi椭圆函数无穷序列新解,这里Δj(j=0,1,2,3,4,5)由定理3来确定.A,ϑ,l,f,g和h是非零任意常数.

结论1获得两个Riemannθ函数组合的复合型双周期新解.

将通过叠加公式(25),(27)获得的无穷序列解,分别代入公式(24)后即可得到KdV方程组的两个Riemannθ函数组合的复合型双周期新解.

结论2获得Riemannθ函数与Jacobi椭圆函数组合的复合型双周期新解.

将通过叠加公式(25)与(28)确定的无穷序列解,代入公式(24)后即可得到KdV方程组的Riemannθ函数与Jacobi椭圆函数组合的复合型双周期新解.

结论3获得两个Jacobi椭圆函数组合的复合型双周期新解.

将通过叠加公式(26)与(28)确定的无穷序列解,代入公式(24)后即可得到KdV方程组的两个Jacobi椭圆函数组合的复合型双周期新解.

2.3.2 当m0m1/0,m2=0,m3=0时,构造KdV方程组(8),(9)的无穷序列复合型新解

当m0m10,m2=0,m3=0时,可以获得KdV方程组(8),(9)的如下无穷序列复合型新解(限于篇幅,叠加公式未列出).

结论1获得Riemannθ函数型周期解与指数函数孤子解组合的无穷序列复合型新解.

结论2获得Jacobi椭圆函数型周期解与指数函数孤子解组合的无穷序列复合型新解.

结论3获得两个指数函数组合的无穷序列复合型双孤子新解.

结论4获得指数函数型孤子解与三角函数周期解组合的无穷序列复合型新解.

结论5获得Riemannθ函数与三角函数组合的无穷序列复合型双周期新解.

结论6获得Jacobi椭圆函数与三角函数组合的无穷序列复合型双周期新解.

结论7获得两个三角函数组合的无穷序列复合型双周期新解.

2.3.3 其他情况下,构造KdV方程组(8),(9)的无穷序列复合型新解

在下面几种情况下,用定理1-3的结论,获得KdV方程组的无穷序列复合型新解.这里包括双孤子解、双周期解以及孤子解与周期解组合的复合型新解.

定理4当m1m0m2/0,m3=0(或m0m20,m1=0,m3=0)时,获得KdV方程组(8),(9)的由Riemannθ函数、Jacobi椭圆函数、指数函数和三角函数两两组合的无穷序列复合型新解.

定理5当m1=0,m2=0,m3=0,m0/0时,获得KdV方程组(4),(5)的由Riemannθ函数、Jacobi椭圆函数、指数函数和三角函数两两组合的无穷序列复合型新解.

定理6当m0=0,m1=0,m2=0,m3=0时,获得KdV方程组(8),(9)的由指数函数和三角函数两两组合的无穷序列复合型新解.

定理7常微分方程

通过函数变换

可化为Riccati方程

根据Riccati方程的B¨acklund变换与解的非线性叠加公式等结论[21-23],可以获得Riccati方程(31)的无穷序列解,这里包括纽状孤波解、奇异解、三角函数周期解和奇异三角函数周期解.

时,通过下列叠加公式

即可获得常微分方程(18)的纽状孤波解和三角函数周期解.

时,通过下列叠加公式

即可获得常微分方程(19)的纽状孤波解和三角函数周期解,这里

M0,N0,K0,H0是不全为零的任意常数.

结论1将叠加公式(32)与(34)确定的无穷序列解,代入公式(24)得到KdV方程组的复合型双孤子新解.

结论2将叠加公式(32)与(35)(或(33)与(34))确定的无穷序列解,代入公式(24)得到KdV方程组的双曲函数孤子解与三角函数周期解复合的新解.

结论3将叠加公式(33)与(35)确定的无穷序列解,代入公式(24)得到KdV方程组的复合型双周期新解.

2.3.4 构造KdV方程组(8),(9)的无穷序列复合型单孤子新解

用推论1获得的解,可以构造KdV方程组(8),(9)的复合型新解.用推论2中不同常微分方程的不同解,可以构造KdV方程组(8),(9)的复合型新解.这些解包括了由Riemannθ函数解、Jacobi椭圆函数解、双曲函数解和三角函数解中不同的两个解组合的无穷序列复合型解.

3 结论

文献[8]和[9]分别,获得了KdV方程组(4),(5)和(6),(7)的由双曲函数与三角函数组成的形如(36)的多孤子解.此类解与本文定理6和定理7中给出的结论是一致的.

这里

是不全为零的任意常数.

在本文的2.3.1节、2.3.2节、定理4和定理5,能获得KdV方程组(8),(9)由Riemannθ函数和Jacobi椭圆函数组成的复合型新解,这里包括周期解和孤子解组合的解、双周期解以及双孤子解.文献[8,9]未能获得此类解.

本文的2.3.4节中获得了KdV方程组(8),(9)由Riemannθ函数解、Jacobi椭圆函数解、双曲函数解和三角函数解中不同的两个解组合的无穷序列复合型解.文献[9]未能获得此类复合型解,只获得了KdV方程组的Jacobi椭圆函数单孤子解.

利用非线性常微分方程(14)与(15)的解与B¨acklund变换等结论,也可以获得KdV方程组(8),(9)的新解(未列出).当α1=4,α2=1,α3=4,α4=4,β1=4,β2=1,β3=4,β4=4时,KdV方程组(8),(9)转化为KdV方程组(2),(3).而且这些系数满足定理1和定理2的条件.因此根据KdV方程组(8),(9)的相关结论,可以获得KdV方程组(2),(3)的无穷序列复合型新解.

[1]范恩贵,张鸿庆.获得非线性演化方程B¨acklund变换的一种新的途径[J].应用数学和力学,1998,19(4):603-608.

[2]范恩贵,张鸿庆.齐次平衡法若干新的应用[J].数学物理学报,1999,19(3):286-292.

[3]张桂戎,李志斌,段一士.非线性波方程的精确孤立波解[J].中国科学A,2000,30(12):1103-1108.

[4]范恩贵.齐次平衡法、Weiss-Tabor-Carnevale法及Clarkson-Kruskal约化法之间的联系[J].物理学报,2000,49(8):1409-1412.

[5]袁文俊,常亚东,黄勇,王桦.某些常微分方程的亚纯解表示与应用[J].中国科学A,2013,43(6):563-575.

[6]Ding H Y,Xu X X,Yang H X.An extended functional transformation method and its application in some evolution equations[J].Chin.Phys.,2005,14(9):1687-1690.

[7]加羊杰.非线性耦合KdV方程的延拓结构[J].应用数学学报,2014,37(2):297-303.

[8]Hu H C,Tong B,Lou S Y.Nonsingular positon and complexiton solutions for the coupled KdV system[J].Phys.Lett.A,2006,351:403-412.

[9]Lou S Y,Tong B,Hu H C,Tang X Y.Coupled KdV equations derived two-layer fl uids[J].J.Phys.A:Math.Gener.,2006,39:513-527.

[10]Huang J,Liu H H.New exact travelling wave solutions for fi sher equation and Burgers-Fisher equation[J].J.Math.,2011,31(4):631-637.

[11]Hu Z H,Wu R C,Zhang W W.Soliton solutions of the long-short wave resonance equatilns[J].J.Math.,2011,31(1):35-42.

[12]许镇辉,陈翰林,戴正德.(2+1)维Kadomtsev-Petviashvili方程解的时空分岔[J].应用数学学报,2013,36(5):900-909.

[13]邓圣福,郭柏灵.一类变式Boussinesq系统的行波解[J].应用数学学报,2012,35(6):1099-1111.

[15]Chen Y,Li B,Zhang H Q.Generalized Riccati equation expansion method and its application to the Bogoyavlenskiis generalized breaking soliton equation[J].Chin.Phys.,2003,12(9):940-945.

[15]Khaled A Gepreel,Saleh Omran.Exact solutions for nonlinear partial fractional di ff erential equations[J].Chin.Phys.B,2012,21(11):110204(1-7).

[16]Md Nur Alam,Md Ali Akbar,Syed Tauseef Mohyud Din.A novel(G′(ξ)/G(ξ))-expansion method and its application to the Boussinesq equation[J].Chin.Phys.B,2014,23(2):020203(1-10).

[17]Ma S H,Fang J P,Zheng C L.Complex wave excitations and chaotic patterns for a general(2+1)-dimensional Korteweg-de Vries system[J].Chin.Phys.B,2008,17(8):2767-2773.

[18]Li D S,Zhang H Q.The soliton-like solutions to the(2+1)-dimensional modi fi ed dispersive waterwave system[J].Chin.Phys.,2004,13(7):984-987.

[19]刘式适,刘式达.物理学中的非线性方程[M].北京:北京大学出版社,2000.

[20]王军民.修正的Korteweg de Vries-正弦Gordon方程的Riemannθ函数解[J].物理学报,2012,61(8):080201(1-5).

[21]套格图桑,白玉梅.非线性发展方程的Riemann theta函数等几种新解[J].物理学报,2013,62(10):100201(1-9).

[22]Taogetusang,Sirendaoerji,Li S M.New application to Riccati equation[J].Chin.Phys.B,2010,19(8):080303(1-8).

[23]Taogetusang,Sirendaoerji,Li S M.In fi nite sequence soliton-like exact solutions of the(2+1)-dimensional breaking soliton equation[J].Commun.The.Phys.,2011,47(6):949-954.

A NEW KIND OF METHOD TO SOLVING SOLUTIONS OF THE NONLINEAR COUPLING KDV EQUATIONS

YI Li-na,Taogetusang
(College of Mathematical Science,Inner Mongolia Normal University,Huhhot 010022,China)

In this paper,the problem of constructing the new in fi nite sequence complexion solution of the nonlinear coupled KdV equations is researched.With the help of the method combining the function transformation with the auxiliary equation,the new in fi nite sequence complexion solutions consisting by two of the Riemannθfunction,Jacobi elliptic function,hyperbolic functions and trigonometric functions of the nonlinear coupled KdV equations are obtained.These solutions conclude two-solitions,double-periodic solutions and soliton solution and periodic solution complexion solutions.

the nonlinear coupled KdV equations;function transformation;the nonlinear superposition formula;new in fi nite sequence complexion solution

on:35B10;35Q51

O175.2

A

0255-7797(2017)04-0823-10

2016-01-05接收日期:2016-08-23

国家自然科学基金资助(11361040);内蒙古自治区高等学校科学研究基金资助(NJZY16180);内蒙古自治区自然科学基金资助(2015MS0128);内蒙古自治区2016年硕士研究生科研创新项目(S20161013502);内蒙古师范大学硕士研究生科研创新基金项目(CXJJS16081).

伊丽娜(1991-),女,蒙古族,内蒙古通辽,硕士,主要研究方向:复杂系统的稳定与控制.

猜你喜欢

孤子方程组结论
由一个简单结论联想到的数论题
深入学习“二元一次方程组”
立体几何中的一个有用结论
《二元一次方程组》巩固练习
一个新的可积广义超孤子族及其自相容源、守恒律
一类次临界Bose-Einstein凝聚型方程组的渐近收敛行为和相位分离
(3+1)维Potential-Yu-Toda-Sasa-Fukuyama方程新的多周期孤子解
两个孤子方程的高阶Painlevé截断展开
结论
(3+1)维非线性方程的呼吸类和周期类孤子解