许 龙 辛淑媛

(1.安徽省太和一中,安徽 阜阳 236600；2.安徽省太和中学,安徽 阜阳 236600)

·试题研究·

简谐运动的定量分析
——谈一道竞赛题的周期求解方法

许 龙 辛淑媛

(1.安徽省太和一中,安徽 阜阳 236600；2.安徽省太和中学,安徽 阜阳 236600)

本文定量分析了两种典型的简谐运动，运用不同方法求解一道弹簧振子和单摆相结合的复合简谐运动的周期，以期对中学生参加自主招生或物理竞赛有所帮助.

简谐运动；弹簧振子；单摆；周期

1 两种简谐运动

普通物理对简谐运动有这样的定义：质点在线性回复力的作用下围绕平衡位置的运动叫做简谐运动.常见的简谐运动形式有两种：弹簧振子和单摆.

1.1 弹簧振子

弹簧振子的简谐运动是一种理想化模型，要求弹簧质量远小于滑块质量，无阻力和摩擦，滑块被视为质点,以滑块的平衡位置作为原点O，并建立坐标轴，x为坐标，等于其位移大小(如图1).其回复力F与x成线性关系，即:F=-kx,其中k为劲度系数.

图1

1.2 单摆

单摆的运动是将小球看作质点，在重力和悬线拉力的共同作用下在竖直平面内沿圆弧摆动，此时受到的合力F=mgsinθ，如图2所示，在讨论单摆做简谐振动时，悬线与竖直位置的偏角θ很小，其位置与最低点的弧长近似于弦长x，即x=θl，其中l为单摆摆长。

图2

2 弹簧和单摆复合运动

求解简谐运动的周期在自主招生及中学物理竞赛中经常遇到，也是学生感到比较困难的地方，下面笔者就一道自主招生的试题进行分析。

图3

如图3所示，有一弹簧摆，在摆长为l的单摆两侧各加一个劲度系数均为k0的轻质弹簧。设摆球静止时两弹簧均处于静止状态，求其小幅度振动的周期。

2.1 公式归纳法

这种解法较为巧妙，只要满足F=-kx的条件，将相应的k带入公式，即得物体简谐运动的周期。这是求解振动周期最基本、最常用的方法，不过该解法一般只能应用于简单的模型，局限性大。

2.2 机械能守恒法

2.3 机械能对时间求导法

运用以上计算振动周期的方法都有一个前提：必须找出简谐振动的回复力公式，则可得到振动周期甚至是运动学方程，在碰到类似题目时，学生可灵活选择解题方法。

[1] 柯尧.赏析一道求振动周期的竞赛题的多种解法[J].物理教师，2016，37(10)：92-93.

[2] 杨榕楠.更高更妙的物理[M].杭州：浙江大学出版社，2016：146-149.

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