曹斌照 费宏明 杨毅彪 陈景东

(太原理工大学物理与光电工程学院,山西 太原 030024)



外场中介质球周围电势分布的一种新解法

曹斌照 费宏明 杨毅彪 陈景东

(太原理工大学物理与光电工程学院,山西 太原 030024)

利用点电荷与介质球系统的镜像电荷分布规律以及对外加电场源的等效，并结合场的叠加原理和连带勒让德函数的性质导出在外加电场中介质球周围电势分布的表达式。在此基础上，讨论了几种特殊情形，从而验证了其正确性。本文方法新颖，对于更好地理解球形介质边界的镜像、场的等效原理以及特殊函数在静电势的求解中的应用具有指导意义。

球面介质边界的镜像；连带勒让德函数；等效原理

介质球处于均匀外场中其周围电场的分布规律在现行的多种教科书《电动力学》《电磁场理论》《数学物理方法》中作为典型例题进行了分析求解[1-3]。主要是利用了分离变量法，通过对拉普拉斯方程的定解问题进行求解，并借助于电介质极化的相关概念对计算结果进行分析。文献[4]采用了镜像法分析点电荷与介质球系统的电势。在此基础上，文献[5,6]将镜像法与分离变量法相结合，讨论了介质球在点电荷电场中产生的电势分布规律，并将均匀电场视作点电荷的极限，从而推出与文献[1-3]相一致的结果。但笔者在总结上述相关文献过程中发现，对于介质球处于任意外加电场的问题并没有涉及，且所讨论的问题中涉及的均匀电场的产生也只是一种理想假设，该极限条件在具体实现过程中也存在着困难。故此，本文提出介质球处于外场周围电势分布的一种新解法，对外加电场采用一种新的等效方法。既从另一角度解释了点电荷与介质球系统镜像的物理机理，又充分展示了连带勒让德函数这一特殊函数的性质，从而可以使数学与物理融会贯通，在相关内容的教学中不失为一种好的尝试。

1 模型及理论推导

处于外电场E中的介质球会伴随着极化的发生，从而使介质球内及其表面出现束缚电荷，所产生相应的附加电场E′，总场为二者的叠加。本文将基于镜像法分析此类问题。为了便于理解，分3步进行考虑：首先分析介质球外点电荷的镜像；其次，提出外场的新的等效模型；在此基础上，利用叠加原理计算处于外场中介质球内、外的电势分布。

1.1 介质球外点电荷的镜像

设介电常数为ε1、半径为R0的介质球放置在介电常数为ε2的基质中，点电荷Q置于距球心为d的球外某点。所产生的电场引起介质球的极化，对于均匀极化仅在介质球内、外侧出现一定分布的束缚面电荷，可以用镜像电荷来代替。设d′为镜像电荷到球心O的距离，当计算球外电势时镜像电荷Q′应放置在球内，整个空间为介电常数为ε2的介质；当计算球内电势时镜像电荷Q″应放置在球外，整个空间为介电常数为ε1的介质，如图1所示。根据点电荷的电势公式，有

(3)

可求得

这样，球内、外的电势可分别表示为

由此可见，点电荷处于介质球外的镜像不是由单一的点电荷构成，而是一系列处于同一位置但电量各不相同的离散电荷系，它们在所产生的总电势中等同于电多极子中2l极子的效果，这与导体球的情况不同[1,2]。文献[5]借助于分离变量法的结果，对此问题做了进一步的深入研究，得到的结论为点电荷对于介质球的镜像电荷是一个点电荷加上一段线电荷。然而，从上面的分析结果来看，镜像电荷也可以看作是一系列同一位置、不同阶的点电荷系的共同叠加。由此可见，点电荷对于介质球的镜像可以按照不同的等效来理解。

对于点电荷处于介质球内的情形，分析过程类同，在此不赘述。

1.2 外加电场的等效

设介电常数为ε2的介质中存在着分布于区域V′内的源ρ(x′)，所产生的电场为E，如图2所示。依据电磁场的等效原理[7]，在区域V′内的许多不同分布的源可以在V′外产生相同的场。于是，在计算区域V′外电场时不妨令带电体内电场为零，即原问题可等效为一个空心导体壳，则表面等效电荷密度可表示为

σ=ε2n·E

(9)

图2 分析外区域电场等效原理示意图

对于均匀场E0，即要求表面电荷密度为恒定值，且为无穷大平面。根据电磁学知，一对极性相反、电荷均匀分布的无限大平行板，形成一无穷大平行板电容器，极板间电场则为均匀场。设极板上电荷密度为±σ0，如图3所示。极板间的电场为

(10)

图3 用镜像法均匀电场对介质球的电势示意图

1.3 外场中电势的一般式

按照叠加原理，介质球内、外的电势分别为

2 特例计算与分析

2.1 均匀电场中介质球外电势的计算

在讨论介质球处于外加均匀电场中周围的电势问题时，可以将无限大的平面极板视为电量为±σ0dS′的点电荷元的叠加，并规定球心处为零势点。据式(12)，第一项即为

(13)

按照叠加原理，介质球外的电势应满足

(14)

根据连带勒让德函数的正交性

(15)

式(14)只有当m=0，n=1时才不为零，于是可得介质球外的电势为

(16)

该结果与文献[1,2]的结果同。

2.2 均匀电场中介质球内电势的计算

据式(11)，同理可得

经过详细的推导，可求得球体内总电势为

(17)

该结果与文献[1,2]的结果相同。

2.3 均匀电场中导体球外电势的计算

据式(7)，可得球体内总电势为

(18)

球体外总电势为

(19)

该结果与文献[1,2]的结果相同。

2.4 同心带电球壳包围介质球时球壳内、外电势的计算

将图3中的平行极板置换成半径为R1的导体球壳，即取r′=R1，设所带总电量为Q，代入式(11)、(12)，按照连带勒让德函数的正交性，只有当n=0时才不为零，故

采用高斯定理法可容易得到相同结果。

以上4个特例均可以证明本文方法的正确性。对于二维情形，如介质柱处于任意外加场，也可同理得到相应结果。

3 结语

本文基于点电荷与介质球系统的镜像电荷分布规律，用场的等效原理将外加场等效为一种面电荷分布的源，通过场的叠加原理和连带勒让德函数的性质导出介质球在任意电场中电势分布的一般积分表达式。对4种特殊情况进行了讨论，从而验证了该方法的正确性。

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A NEW METHOD FOR ANALYZING THE PROBLEM OF THE POTENTIAL DISTRIBUTION AROUND THE DIELECTRIC SPHERE IN THE EXTRA-ELECTRIC FIELD

Cao Binzhao Fei Hongming Yang Yibiao Chen Jingdong

(College of Physics and Optoelectronics, Taiyuan University of Technology, Taiyuan Shanxi 030024)

The expression of electric potential distribution around dielectric sphere in the extra-field is obtained based on the distributing law of the mirror image system composed by a point charge and a dielectric sphere, combined with the equivalent principle and the property of Associated Legendre function. On this basis, several special cases are discussed and the correctness is verified. The new method has guiding significance for solving the electrostatic potentials to better understand of the mirror image of spherical medium boundary, equivalent principle of the fields and special functions.

mirror image of spherical dielectric boundary; associated Legendre function; equivalent principle

2016-09-12

2016年山西省高等学校教学改革创新项目(J2016013)、2016年太原理工大学本科教育教学改革项目(ZD001)、2016年教育部高等学校物理类专业教学指导委员会研究项目(JZW-16-DD-12)、2016年教育部与高通公司产学合作协同育人项目(201602034010)。

曹斌照，男，副教授，主要从事电动力学、数学物理方法的教学与研究。caobinzhao@tyut.edu.cn。

曹斌照，费宏明，杨毅彪，等. 外场中介质球周围电势分布的一种新解法[J]. 物理与工程，2017，27(3)：91-94.