王 蕾

(西安航空学院 飞行器学院，陕西 西安710077)

多项式温度分布下的自由盘湍流换热数值研究

王 蕾

(西安航空学院 飞行器学院，陕西 西安710077)

在航空燃气涡轮发动机的二次流空气系统中，涡轮盘腔的流动和换热问题具有复杂的热边界条件，其流场和换热特性对发动机的设计具有重要作用。基于单项式和多项式边界条件下的自由盘的湍流流动换热模型，应用FLUENT进行数值研究。通过与理论值的对比，验证了使用Relizible k-ε湍流模型用于研究自由盘面上湍流的适用性。研究发现，对于不可压的湍流，盘面的局部努塞尔数受温度分布的控制，盘面温度为任意n次多项式分布下的局部努塞尔数可由盘面温度按0-n次单项式分布时的结果导出。

数值模拟；自由盘；湍流；努塞尔数

0 引言

在燃气涡轮发动机的工作中，涡轮盘在外部的高温燃气和内部的冷却气的共同作用下，承受很高的热应力。对旋转盘腔冷却结构的研究，其内容通常是采用理论推导、实验测量、数值计算等手段考察几何条件、流动边界条件以及热边界条件对腔内流动规律以及转盘换热规律的影响[1-7]。由于实际发动机中旋转盘腔内的流动和换热规律极为复杂，理论研究方法仅对极少数简单的盘腔模型能得到较好的结果，而对绝大多数盘腔模型，还必须采用实验或数值计算方法进行研究。

自由盘是旋转盘的简化结构，是指被置于静止的流体自由空间中的旋转盘。虽然在发动机中没有自由盘的结构形式，但通过研究自由盘在复杂边界条件下的换热，能够为实际发动机中涡轮盘腔的流动和换热打下基础。由于从20世纪初普朗特提出边界层理论后就已开始了对简单旋转盘结构的研究，经过几十年的发展，其理论体系已相当完备，研究结果经常被用于旋转盘腔内流动和换热的实验方法和计算程序的验证上。

在自由盘湍流流动换热的理论求解方面，给定盘面温度边界条件Tw-Tf=Crn的情况下，Dorfman[8]基于幂函数律来求解边界层能量积分方程，得到了自由盘盘面局部及平均努塞尔数的近似解，Polkowski[9]使用雷诺比拟也导出了换热系数。

在自由盘流动与换热的数值计算方面，Koosinlin[10]、Cebeci[11]以及Ong[12]用混合长度模型对自由盘流动与换热进行了研究，并与相关的实验及理论数据进行了比较，结果表明，用混合长度模型对自由盘流动和换热进行模拟是可行的。

在国内，吕品[13]利用数值的方法研究了盘面过余温度为半径的多项式分布的第一类边界条件下，自由盘面为不可压层流流动时的换热。赵熙[14]对自由盘可压流、盘面给定不同温度水平时的层流换热进行数值计算，并将所得的局部努塞尔数与不可压流的计算结果进行比较，考察了温度水平对换热的影响规律。

上述研究主要针对自由盘面的流动为层流流动情况的换热，得到了精确的理论解及与之吻合的数值模拟的结果，但对于流体离开盘面形成漩涡的湍流流动尚无系统的研究。而由于引入粘性的影响，湍流流动更为复杂，并且自由盘流动的理论解已表明，热边界条件的不同会导致换热系数产生较大差异。为了将旋转盘腔换热实验所得数据应用于实际发动机的二次流系统的研究中，数值的方法考察不同热边界条件对湍流流动换热的影响情况是必要的。

因此，本文针对盘面过余温度为半径的多项式分布，且盘面流动为湍流流动时的自由盘表面的换热展开数值研究，应用计算流体力学的方法对建立的自由盘表面的二维模型进行分析，考察盘面的局部努塞尔数的变化情况，从而研究盘面温度分布对湍流流动自由盘表面换热的影响。

1 研究方法及对象

本文采用软件FLUENT对自由盘计算模型进行静止坐标系下的流动和换热控制方程的求解。能量方程中忽略了压力功及耗散项，各方程的离散形式均采用二阶迎风格式，压力和速度的耦合采用SIMPLE算法。湍流模型采用Realizablek-ε模型，边界层处理采用增强壁面处理法。在流体不可压假设下(即不考虑温度对密度的影响)，研究自由盘盘面过余温度按单项式和多项式分布时，盘面为湍流流动时分布式的各系数以及指数对局部努塞尔数Nur的影响规律，并讨论两种分布下计算所得的Nur之间的关系。

1.1 计算模型及网格划分

计算模型为在一个无限大空间内旋转的，半径为0.2m(R=0.2m)的自由盘，仅计算流体域，自由盘计算域及网格如图1所示。

由于模型的轴对称旋转特性，故只计算自由盘单侧γ-z平面的二维流体区域，在盘面施加沿切向的旋转速度，旋转轴为z轴；计算域沿轴向范围应为0≤z≤10R，沿径向范围为0≤r≤5R。计算网格采用四边形网格；由于在盘面附近流体速度及温度梯度较大，故对该区域网格进行加密。在进行网格无关解验证后选取的网格数目约为210×230。

1.2 物性及边界条件

设流体为不可压空气，取流体的参考温度Tf =300K，参考压力为1.01325×105Pa，对应的空气物性参数见表1。

表1 计算域的空气物性参数

具体的流动和热边界条件设置如下：

①盘面为无滑移条件，并给定盘面的转速和温度分布。因自由盘盘面的流动由层流向湍流过渡的临界旋转雷诺数为Reω,c=ρπωcR2/(30μ)=2×105[8]，则R=0.2m时的临界转速ωc≈740rpm，故取自由盘湍流流动时的转速ω=1500、2500、3500rpm，对应旋转雷诺数分别为Reω≈4.067×105、6.779×105、9.491×105。

盘面的热边界条件为第一类边界条件，给定过余温度Tw-Tf沿半径r分别按n次单项式和n次多项式分布：

Tw-Tf=Crn

(1)

Tw-Tf=a0+a1r+a2r2+…+anrn

(2)

其中Tw为盘面温度，Tf为开放边温度，C以及a0、a1、…、an为常数，指数n在计算中取0～3。

②对于滑移边，设定边界上为自由滑移、绝热壁面条件。

③对于开放边，给定边界处温度Tf=300K，压力pf=1.01325×105Pa，湍流强度为5%。

④对于旋转轴，z轴为旋转轴，该轴上径向、切向速度均为0，轴向速度和温度沿半径的梯度也为0。

1.3 数值方法验证

利用Dorfman的理论值与上述设置计算得到的结果进行比较，验证数值方法的可靠性。图2所示为计算所得的自由盘盘面局部努塞尔数Nur与Dorfman的理论解的比较结果，盘面相应的边界条件也示于图2中。这里Nur=hr/λ，r为盘面当地半径，hr为盘面半径r处的局部换热系数且hr=qw/(Tw-Tf)，qw为盘面局部热流密度。

盘面等温时，不同旋转雷诺数Reω下计算所得的Nur与Dorfman的结果相比，除在低半径处偏差较大外，绝大多数区域符合较好，平均偏差约±5%。可见，本文所选用的湍流模型Realizablek-ε及边界条件的设定，用于自由盘湍流换热的数值计算具有较高的可信度。

2 结果分析

根据自由盘湍流换热的理论解，可以很方便地得到不同温度分布时换热的差异。但文献中通常只给出了盘面过余温度分布为n次单项式Tw-Tf=Crn时的结果，其特点是局部努塞尔数Nur不随系数C的改变而变化，只与旋转雷诺数Reω及指数n有关。本文采用不可压流计算，对湍流时盘面过余温度为单项式分布和多项式分布时盘面的换热规律进行考察，讨论Nur与单项式分布结果之间的关系。

图3所示为自由盘湍流时盘面过余温度为单项式分布时系数C对盘面局部努塞尔数Nur影响的计算结果。

由图3明显看到，对于这种流动状态，不可压流动时盘面局部努塞尔数Nur在不同的C时得到相同的结果，说明盘面换热情况与C无关，这与理论求解得到的结论相符。

图4、图5分别为自由盘湍流情况下旋转雷诺数Reω分别为4.068×105、9.491×105时计算所得的单项式分布曲线指数n对盘面局部努塞尔数Nur的影响。

由图4、图5看到，湍流时Nur随r/R不是线性分布，说明盘面换热系数随半径而改变；高半径区域由于转盘切向速度增加，湍流边界层内切向速度梯度增大，从而使盘面换热强于低半径区域。旋转雷诺数Reω一定时，Nur随n的增大而增大，且之间的差距随着半径的增大而增大。对于相同的n，对比图4、图5Nur的值可知，Nur随Reω呈单调增加的趋势，Reω越大，则盘面换热越强。

Eckert等[15]对剪切层内流动和换热的分析表明，对于定常、不可压及常物性的剪切层流动，当流体温度沿流向的二阶偏导数较小时，剪切层内流体的能量方程可简化为齐次线性方程，且求解时无需与动量方程耦合。对齐次线性能量方程，当壁面温度边界条件按多项式分布时，其换热解可由单项式边界条件的结果导出。吕品[13]由此推出，在发动机旋转盘腔中，如不考虑流体可压缩性的影响以及转盘面不存在流动分离时，对转盘边界层内能量方程的求解可得到与Eckert等人相同的结论。

盘面过余温度为单项式分布时，分别设n=0、1、2、…、n时盘面所得的局部努塞尔数分别为Nur,0、Nur,1、Nur,2、…、Nur,n。

定义局部努塞尔数之比：σr,n=Nrr,n/Nur,0

由上述的计算结果可得σr,1≈1.13、σr,2≈1.22、σr,3≈1.29。而当过余温度为任意n次多项式分布且其它条件不变时，参照Eckert等的结论，盘面局部努塞尔数Nur可由下式计算：

(3)

利用公式(3)可以用自由盘层流换热时单项式分布的结果计算多项式分布下的换热，现验证该式在自由盘湍流流动中的适用性。

自由盘湍流时盘面过余温度按多项式分布时盘面局部努塞尔数Nur的数值模拟结果与由式(3)得到的结果进行比较的情况如图6所示。

由图6的对比可以看出，多项式分布下的Nur的数值解与式(3)均符合得很好，这说明Eckert等对剪切层换热的研究结论在自由盘的湍流流动上是适用的，这也为将简单温度分布下得到的换热数据推广至具有复杂温度分布的实际涡轮盘提供了极有价值的参考。

此外，由式(3)还可很方便地得出多项式分布时分布式的各系数a0、a1、…、an对盘面换热的影响规律。

总之，自由盘过余温度为任意多项式分布时，Nur在数值上介于过余温度单独按多项式的最高次项和最低次项分布时分别所得结果之间，Nur随最高次项系数单调递增，随最低次项系数单调递减；随中间次数项系数在半径较小区域单调递增，在半径较大区域单调递减。当所有项的系数按相同倍数变化时，Nur的值不变。

3 结语

对不可压自由盘湍流流动换热的数值研究可得如下结果：

(1)当盘面过余温度按单项式分布时，盘面局部努塞尔数Nur不随C的改变而变化；

(2)当盘面过余温度按多项式分布时，旋转雷诺数Reω一定时，Nur随n的增大而增大，且之间的差距随着半径的增大而增大；

(3)当过余温度为半径的任意多项式分布时，盘面局部努塞尔数可由盘面温度按0-n次单项式分布时的结果导出。

[1] 徐国强.转静系旋转盘腔内冷气的流动与换热特性研究[D].北京:北京航空航天大学,1999.

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[责任编辑、校对：东 艳]

Numerical Research of Turbulent Flow Heat Transfer on Free Disc with Polynomial Temperature Profile

WANGLei

(School of Aircraft,Xi′an Aeronautical University,Xi′an 710077,China)

In secondary air system of gas turbine engines, flow and heat transfer problems of turbine disc system usually appear with complex geometry, and flow and thermal boundary condition,and its flow distribution and heat transfer characteristics are of great importance for engine design.This paper centers around the turbulent flow on free disc with thermal boundary condition of monomial and polynomial temperature profiles applying software FLUENT.A comparison between numerical result and theoretical result verifies the applicability of turbulence model Relizible k-εto studying the flow on the free disc.Results show that: for incompressible turbulent flow,local Nusselt number on the disc surface is dominantly controlled by the temperature distribution;the theory for the turbulent flow is that the Nusselt number for an arbitrary polynomial temperature profile,with an order n,can be deduced from results of monomial profiles,with orders from 0 to n.

numerical simulation;free disc;turbulent flow;Nusselt number

2017-03-14

国家自然科学基金项目(50806004)

王蕾(1988-)，女，宁夏固原人，助教，主要从事航空发动机传热研究。

V231

A

1008-9233(2017)03-0003-05