张培杰 林建忠

(浙江大学航空航天学院流体工程研究所，杭州310027)

非牛顿流体固粒悬浮流的若干问题1)

张培杰 林建忠2)

(浙江大学航空航天学院流体工程研究所，杭州310027)

非牛顿流体固粒悬浮流具有广泛的应用背景，其特殊的流动属性使其成为一些新兴技术领域的核心突破点.同时，该流动又比较复杂，即便是在低固粒浓度的情况下，非牛顿流体特性也会对整个系统的微结构产生重要的影响，从而进一步影响固粒的运动.本文给出了非牛顿流体方程、固粒运动方程和非牛顿流体固粒悬浮流的特征参数，分析了这些参数的作用；阐述了单个固粒在管道中的径向移动、多固粒的相互作用和聚集、多固粒形成的链状结构以及非圆球固粒运动等方面的研究成果、结果分析以及尚未解决的问题，并对以上问题进行了总结和展望，给出了需要深入研究的具体问题和内容，旨在为进一步的研究提供参考和依据.

非牛顿流体，固粒，悬浮流，综述

引言

牛顿流体固粒悬浮流已得到了广泛的研究[13]，自然界和实际应用中，除了水、空气、甘油等少数牛顿流体外，绝大部分是非牛顿流体.非牛顿流体是一种具有内部结构的复杂流体，其基本特征是应力和应变率之间不满足牛顿内摩擦定律，流体黏度依赖于剪切率，有些具有弹性或塑性，流体介质具有记忆效应即流体介质的力学属性与介质的历史状态有关.非牛顿流体固粒悬浮流具有广泛的应用背景，且这种流动因其特殊的属性而成为一些新兴技术领域的核心突破点，例如石油工业中钻井时常用泥浆和聚合物构成的非牛顿流体来输运岩石碎末；由清水、砂和添加剂构成的压裂液通过液压使岩石产生裂纹而产出石油或天然气；又如火箭推进系统中的凝胶燃料，该燃料具有高燃烧能量、稳定耐贮存的显著优势.

非牛顿流体固粒悬浮流的动力学特性非常复杂，即便是在低固粒浓度的情况下，非牛顿流体特性诸如剪切变稀、拉伸变稠、第一和第二法向应力的存在都会对整个系统的微结构产生重要影响.固粒在流体中的分布不均匀会使悬浮流的流变特性发生剧烈的变化.然而，非牛顿流体内部结构的复杂性，也可被用来使固粒按照预期的且在牛顿流体中无法奏效的方式运动，例如在微流控技术中，让固粒在装置的某些指定区域内运动，从而达到计数、诊断和分离等目的；又如通过对固粒运动和分布的控制，可以优化产品的生产过程.因此，了解和掌握非牛顿流体固粒悬浮流的动力学特性具有重要的学术价值和实际意义.

对非牛顿流体固粒悬浮流的系统研究起源于20世纪70年代，初始阶段主要是对简单流场进行实验研究，旨在揭示在相似的条件下与牛顿流体相比而呈现出的复杂特性.随着实验仪器与技术的发展，人们开始关注高浓度固粒情形和复杂流场.此外，随着计算机技术以及数值计算方法的发展，数值模拟逐渐成为对非牛顿流体固粒悬浮流研究的重要手段.由于对非牛顿流体固粒悬浮流研究的内容涉及流体性质、固粒性质和流场特性，覆盖的范围较宽，因此以下只对单个固粒在管道中的径向移动、多固粒的相互作用和集聚、多固粒形成链状结构以及非圆球固粒的运动进行阐述.

1 基本方程和特征参数

1.1 非牛顿流体方程

假设流体不可压缩，非牛顿流体方程的连续性方程和动量方程为

式中，u是速度，ρf是流体密度，σ是总应力张量.不同于牛顿流体，非牛顿流体的复杂性体现在σ的多样性和复杂性，对于黏弹性流体，σ可表示为

式中，p是压力，I是单位张量，ηS是黏性系数，τ是黏弹性应力，D是应变率张量

对不同的流体要采用不同的本构关系来表示黏弹性应力τ，例如

表示Upper-Convected Maxwell流体(方程(3)中的ηS为零)和Oldroyd-B流体，其中,λ是流体的松弛时间，ηp是非牛顿流体对黏度的贡献，为

1.2 固粒运动方程

在非牛顿流体中运动的固粒其平动满足牛顿第二定律，转动满足Euler方程[4]

式中，mi和Ii分别是第i个固粒的质量和转动惯量，Ui和ωi分别是第i个固粒的平动速度和角速度，Fext,i和Text,i分别是作用在第i个固粒的外力和外力矩，x是在边界∂Pi(t)上某个点的位置矢量，Xi是固粒的质心坐标，n是在边界∂Pi(t)处的单位法向矢量，dS是局部表面积.不同于牛顿流体情形，非牛顿流体总应力张量σ的复杂性使得方程(7)和方程(8)的求解比较困难.

基于单向耦合模式，联立式 (1)～式 (4)和式(7)～式(8)以及相应的本构方程，基于一定的边界条件和初始条件，便可以求解得到非牛顿流体的速度、压力、应力以及固粒的平动速度和角速度，进而得到固粒的轨迹和分布.

1.3 特征参数

对于非牛顿流体固粒悬浮流，除了常用的雷诺数外，还有另外一些重要的特征参数.Deborah数表示流体的松弛时间和流场的特征时间之比；黏度比表示流体黏度与总的零剪切黏度之比；密度比是固粒的密度与流体的密度之比；重力数是作用在固粒的沉降力与黏性力之比；Weissenberg数是第一法向应力差和剪切应力之比.

2 单个固粒在管道中的径向移动

单个固粒在管道中的径向移动的早期研究主要关注固粒在非牛顿流中运动时的阻力系数，研究发现固粒运动带动流体剪切运动，导致流体的黏度变化从而改变了阻力系数[5].固粒在管道中的径向移动是固粒在流体中运动的典型问题，具有明确的应用背景，例如在固粒分离微流控技术中，通过添加聚合物使流体具有黏弹性，进而影响固粒的运动特性来提高固粒的分离效率.对于牛顿流体，流体的惯性会使固粒沿径向迁移到管道中心和壁面之间的某个位置，不同大小的固粒具有不同的迁移速度和径向平衡位置.近年来利用该特性发展了“惯性聚焦”固粒分离微流控技术[6].然而，对于亚微米和纳米尺度的固粒，极小的固粒雷诺数导致固粒的迁移速度非常小而分离效果不明显.为此，通过在流体中添加聚合物，利用流体的黏弹性来加速固粒向管道中心的迁移，从而改进分离效果[79].因此，固粒在管流中的径向移动一直是研究的热点.

在“惯性聚焦”分离技术中，矩形管道比较普遍(图1).Yang等[8]的实验结果表明，当流体惯性可忽略时，固粒在黏弹性流体中会迁移到管的中心和4个角落;当流体惯性影响弱时，固粒均向中心迁移.Lim等[10]由实验发现，固粒在弱弹性流体中，即使流体惯性很强，固粒也向管道中心迁移，而流体的剪切变稀特性驱使固粒偏离中心线[11].Villone等[12]研究了可忽略流体惯性时黏弹性和二次流对固粒迁移的影响,发现PTT黏弹性流体的固粒会向中心线和附近壁面迁移，并猜测迁移到壁面后的固粒会进一步向角落迁移，迁移方向取决于初始位置和流体弹性大小.Li等[13]研究黏弹性和惯性对固粒迁移的影响发现,流体弹性驱使固粒向中心迁移，而流体惯性驱使固粒向壁面迁移.

以上研究结果给出了一些圆球形固粒在管流中径向移动的结论，但仍有一些问题尚未弄清楚，例如,固粒停留在管道角落的平衡点消失时所对应的临界雷诺数值大小以及管道截面的长宽比对固粒平衡点位置产生的影响.理论上预测,雷诺数较高时，固粒在黏弹性流体中会存在角落平衡点，但实验研究没有发现这样的平衡点[10]，此时固粒在黏弹性流体中的平衡位置需要进一步确定.

图1 固粒在矩形管道中的迁移Fig.1 Migration of solid particle in the rectangular tube

3 多固粒的相互作用和聚集

多个固粒在非牛顿流体中的相互作用和聚集对实际应用有直接影响，例如石油工业中的钻井液和水力压裂液操作时都需要输运固粒，掌握固粒在输运中的聚集特性有助于优化设计，提高石油开采效率.固粒的聚集还会影响固粒分布的均匀性和减阻传热效果等.实验发现，在黏弹性剪切变稀流体中，当间距小于临界距离时竖直放置的两个球形固粒会相互靠近；当间距大于临界距离时，则会相互排斥.该排斥可能和负尾流(即沉降固粒尾流场中速度向上)有关[14].在无弹性强剪切变稀流体中，两个相距较远的球形固粒也会聚集(图2)[15]，前一固粒通过时产生的低黏度通道被认为是后一固粒加速的原因.水平放置的两个球形固粒在黏弹性剪切变稀流体中会相互靠近，两者转到竖直方向后稳定沉降[16]；在无弹性剪切变稀流体中的固粒也被观察到会径向靠近，但转到竖直位置后将分开[17].实验还发现，多个球形固粒在黏弹性剪切变稀流体[18]和无弹性剪切变稀流体[19]中会形成沉降方向上的固粒串.

图2 固粒的聚集[15]Fig.2 Aggregation of solid particle[15]

以上仅是实验研究结果，但在理论和数值模拟方面的研究还存在一些问题.例如，基于黏弹性本构方程的数值模拟能够重现固粒的聚集和成串现象[20]，基于触变性剪切变稀模型的数值模拟也能重现两固粒在相距很远时的纵向集聚[21]，而流体弹性和剪切变稀同时存在时固粒的聚集模式尚不清楚.实验结果显示，固粒在近似无弹性的剪切变稀流体中存在聚集的现象[19]，但在无剪切变稀的黏弹性Boger流体中却不会聚集[17]，这些结果目前还无法从数值模拟中得到，这是由于尽管数值模拟中的本构模型符合剪切流中所测量的流变特性，但未必能确切描述聚合物在复杂流场下微结构的变化.

4 多固粒形成的链状结构

多个固粒在非牛顿流体中形成链状结构是非牛顿多相流中重要的现象之一.所谓链状结构,即若干固粒沿流向形成稳定的队列结构，就像链条一样，固粒间距很小且作整体运动(图3).固粒形成链状结构后将显著改变流动的宏观特性，例如热传导性显著提高[22]，也能被用来对亚微米和纳米量级的固粒进行更有效的收集、分类与分离[2325].

Michele等[26]首次由实验发现，黏弹性流体中的固粒在剪切作用下会出现链状结构，Giesekus[27]认为，固粒间润滑流动减弱了流体的运动速度及剪切率，法向应力差在固粒周围形成差异，从而导致固粒相互靠近并形成链状结构.

图3 链状结构形成Fig.3 Formation of chain structure

Feng等[29]则认为,弹性引起的法向应力差改变了固粒附近的压力分布，从而导致链状结构的形成.Won等[30]由实验发现，在Boger流体中的固粒虽然会沿流向聚集但不会形成链状结构，而在剪切变稀黏弹性流体中，则存在链状结构，且该结构的特征与Weissenber数有关.Pasquino等[3134]由实验发现，剪切率、固粒浓度、平板间距和固粒尺度是影响链状结构形成速率及链条长度的主要因素.Nie和Lin[35]由数值模拟发现了剪切流中三固粒在幂律流体中的成链过程.Van Loon等[36]由实验发现，在纯剪切变稀流体中也有微弱的链状结构，据此推断剪切变稀是形成链状结构的必要条件，而流体的弹性仅起到促进作用，并非必要条件，他们的这一推断至今没有理论解释.Hwang等[37]由数值模拟发现，在剪切变稀黏弹性流体中存在着与Weissenber数有关的链状结构，这一结论后来被实验所证实[34].他们在Oldroyd-B流体中也模拟到较弱的链状结构，并据此推断流体的弹性是形成链状结构的必要条件，而剪切变稀虽有助于形成链状结构，但其决定性的作用还不明确.这一结论与Jaensson等[38]的数值模拟结果一致，但与实验结果[30,34,36]和数值模拟结果[34]不一致，其原因目前没有合理的解释.

由上可见，固粒在非牛顿流体中形成链状结构的机理尚不清楚，是流体的弹性还是剪切变稀起主要作用还存在争议.目前尚未建立链状结构的长度、位置以及取向等特征与流场特性和固粒属性的定量关系.此外，以往的数值模拟大多局限于二维情形且忽略了流体和固粒的惯性，因而无法与实验结果进行比较.在对非牛顿流体中固粒形成链状结构的直接数值模拟中，需引进流体的本构方程，该方程是非线性偏微分方程，求解复杂且耗时，目前还没有兼顾精度、效率和稳定性的数值模拟方法.

5 非圆球固粒的运动

以往的研究大多数集中在圆球固粒上，然而，许多自然现象和实际应用中的固粒是非圆球固粒.非圆球固粒在形状上为非各向同性，固粒的取向和转动与其平动高度耦合，这使得问题变得非常复杂.非圆球固粒在牛顿流体中的运动已有不少研究结果[3941]，但在非牛顿流体中运动的研究则较少.Iso等[4243]由实验发现，剪切流中流体的弱弹性使圆柱形固粒的取向转向涡量轴，而强弹性则使固粒转到流动--剪切平面.Gunes等[44]由实验发现，剪切流中的椭球固粒当长轴取向为涡量轴方向时，固粒则不会集聚，而当长轴转到流动--剪切平面内时，固粒则会聚集，且聚集结构与球形固粒的结构不同.椭球形固粒与流向呈约30◦的角度,组合成固粒柱.Bartram等[45]的研究表明，非圆球固粒在黏弹性流体中的旋转周期比圆球固粒长，且在较低的剪切率下将偏离Je ff ery轨道.Johnson等[46]发现，对于Boger流体，由于存在非牛顿流体法向应力，椭球形的红血球细胞将偏离牛顿流体时的运动轨道.当作用在细胞上的弹性力强于布朗运动的随机力时，细胞的主轴将偏离流动方向而转到旋涡的轴向；而当随机力强于弹性力时，细胞主轴则更有可能指向流动方向.Gunes等[47]研究了黏弹性流体中由流动导致的椭球形固粒的取向变化.研究发现，当剪切率增大时，固粒的取向由随机转向Je ff ery轨道；当Peclet数和Weissenberg数增加时，固粒的旋转周期变长，此时固粒的轨道逐渐呈现滚动状态，导致固粒的取向往旋涡的轴向集中，这一过程的持续时间与流场的剪切率成反比；当流体的弹性更大时，固粒又将重新指向流动方向，而在Boger流体中没有发现以上现象.Leal[48]研究了轴对称柱状颗粒通过一静止二阶黏弹性流体的运动以及在简单剪切流场中的转动.研究发现，在一级近似下，具有任意指向的前后对称的固粒,其平动速率与在相当的牛顿流体中的情形相同，但是前后不对称的固粒则没有这样的结果.Harlen和Koch[49]分析了在高Deborah数情况下圆柱状固粒在稀聚合物溶液中的运动特性.研究发现，当Deborah数足够高时，在固粒速度扰动和平均剪切流动的共同作用下，会导致聚合物拉伸效应显著加强；非牛顿流体的应力对固粒的角速度产生扰动，使得固粒偏离Je ff ery轨道而将主轴指向旋涡的轴向.与黏弹性二阶流体不同的是，这一效应不依赖于第二法向应力差.Phan-Thien等[5051]在小Deborah情形下，通过扁球体固粒在Oldroyd-B剪切流中的运动，研究了流体的黏弹性效应.结果发现，黏弹性应力将使固粒的旋转变缓，当应力增大时，固粒将偏离Je ff ery轨道.D’Avino等[52]研究了椭球固粒在黏弹性流体自由剪切流场中的运动，研究发现，在低Deborah数时，固粒由盘旋轨道转变成绕旋涡轴的滚动轨道，而在高Deborah数时，固粒的主轴则指向流动方向.

尽管非圆球固粒在非牛顿流体中的运动已有一些研究结果，但仍然有一些问题未得到研究或澄清.例如：圆柱状固粒在非牛顿流体管流中径向移动的研究还未见报道；椭球固粒为何与圆球固粒的聚集结构不同、圆柱形固粒在非牛顿流体运动中相互作用的机理与结果尚不清楚；非圆球固粒在随时间演化的非牛顿流场中的运动特性以及Stokes数、Deborah数、固粒与流体的密度比等参数对于流场以及固粒的运动与分布影响尚不清楚.

6 总结和展望

以上对单个固粒在管道中的径向移动、多固粒的相互作用和聚集、多固粒形成的链状结构以及非圆球固粒运动等方面的研究成果进行了阐述与分析.可见，以往在这几个方面虽取得了一定的研究成果，但仍有一些问题没有得到解决.

对于单个固粒在管道中的径向移动，可以开展的研究包括：①圆球和椭球形固粒在矩形管道内的径向迁移；②不同雷诺数下，固粒停留在矩形管道角落的平衡点存在与消失的特征；③流变特性、雷诺数、矩形管道截面长宽比等因素对固粒径向迁移特性和平衡点位置的影响；④探讨较高雷诺数下固粒在黏弹性流体中是否有平衡点及其平衡点的位置.

在多固粒的相互作用和聚集方面，可以开展的研究包括：①多个圆球形固粒在黏弹性Couette流中的运动规律和聚集结构；②在两竖直圆筒间侧向剪切流中，多个圆球形固粒在纯剪切变稀、黏弹性剪切变稀、无剪切变稀黏弹性流体中的运动规律和聚集结构；③流体弹性和剪切变稀对固粒聚集所起的作用以及两者同时存在时固粒的聚集模式；④多个椭球形固粒、圆柱形固粒在黏弹性Couette流中的运动规律和聚集结构以及流变特性和颗粒长径比对聚集的影响.

在多固粒形成的链状结构方面，可以开展的研究包括：①将用于牛顿流体的格子Boltzmann虚拟区域方法与非牛顿流体本构方程结合，探索用于非牛顿流体的格子Boltzmann虚拟区域方法；②研究Couette流中多固粒在纯剪切变稀、黏弹性剪切变稀、无剪切变稀黏弹性流体中形成链状结构的机理；③了解Couette流中流变特性、惯性、颗粒浓度、管道与固粒尺度比等因素对链状结构的长度、位置以及取向的影响；④给出三维情况下考虑流体和固粒的惯性时，链状结构形成的条件.

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52 D’Avino G,Hulsen MA,Greco F,et al.Bistability and metabistability scenario in the dynamics of an ellipsoidal particle in a sheared viscoelastic fluid Physical Review E,2014,89(4)：043006

REVIEW OF SOME RESEARCHES ON SUSPENSION OF SOLID PARTICLE IN NON-NEWTONIAN FLUID1)

Zhang Peijie Lin Jianzhong2)
(Institute of Fluid Engineering，School of Aeronautics and Astronautics，Zhejiang University，Hangzhou 310027，China)

Suspension of solid particle in non-Newtonian flui has a wide range of applications,and its special fl w properties make it the core breakthrough point in some new technology fields Meanwhile,the fl w is more complex.Even in the case of low particle concentration,the characteristics of non-Newtonian flui have an important influenc on the microstructure of the whole system,which further a ff ects the movement of solid particles.In this paper,the non-Newtonian flui equation,particle motion equation and characteristic parameter of suspension of solid particle in non-Newtonian flui are given,and the e ff ect of these parameters is analyzed.The research findings result analysis and open questions of some topics including the radial motion of single solid particle in a pipe,the interaction and aggregation of multi-particles,the chain structure formed by multi-particles,and motion of non-spherical particles are related.Finally,the topics mentioned above are summarized and prospected,and the concrete problems and contents that need to be studied deeply are given,which is aimed at providing references and basis for further research.

non-Newtonian fluid solid particle,suspension,review

O359，O373

：A

10.6052/0459-1879-17-038

2017–02–13 收稿，2017–04–06 录用,2017–04–06 网络版发表.

1)国家自然科学基金重点资助项目(11632016).

2)林建忠，教授，主要研究方向：多相流、微纳流动、湍流、流体机械.E-mail：jzlin@sfp.zju.edu.cn

张培杰,林建忠.非牛顿流体固粒悬浮流的若干问题.力学学报,2017,49(3)：543-549

Zhang Peijie,Lin Jianzhong.Review of some researches on suspension of solid particle in non-Newtonian fluid Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(3)：543-549