苟凯

(西南交通大学力学与工程学院, 成都610031)

微裂纹区对主裂纹扩展的影响

苟凯

(西南交通大学力学与工程学院, 成都610031)

基于Gong推导的主裂纹与微裂纹的理论解，分析了微裂纹区对主裂纹的影响。通过最大周向应力判据，定性和定量地分析了微裂纹区对主裂纹扩展方向的影响。通过计算主裂纹的等效应力强度因子，定性地分析了微裂纹区对主裂纹扩展速率的影响。结果表明：当微裂纹区位于-75°<θ<75°时，微裂纹区增加主裂纹的扩展速率，而位于-150°<θ<-75°和75°<θ<150°时，减弱主裂纹的扩展速率。当微裂纹区位于-30°<θ<30°时，对主裂纹的扩展方向影响不大；当位于30°<θ<115°和-150°<θ<-115°时，主裂纹朝逆时针方向偏转；当位于-115°<θ<-30°和115°<θ<150°时，主裂纹朝顺时针方向偏转。这些结果能够为预测脆性材料的疲劳和断裂行为提供有用的信息。

主裂纹；微裂纹；最大周向应力判据；扩展速率；扩展方向

引言

上世纪以来，人们发现了疲劳和断裂是材料失效的主要原因。因此疲劳断裂问题成为研究工作者的一个重要的关注点，断裂力学由此发展起来。断裂力学主要研究含裂纹材料的力学行为。当构件产生裂纹以后，并不意味着它因此而失效，只要能够对它的力学行为作出准确的判断，那么这个构件还是能够使用的，可以大大节约成本，这也是断裂力学研究的意义所在。

材料在制造和使用过程中，很难避免会有损伤，产生微缺陷，如微裂纹、微杂质等。这些微缺陷对材料的疲劳和断裂行为会产生很大的影响，因此缺陷对裂纹的影响被很多研究者关注[1-4]。另一方面，对于脆性材料，例如混凝土、金属玻璃等，微裂纹增韧机制一直是一个重要的研究领域。微裂纹能够使主裂纹尖端应力集中作用增强，导致裂纹加速扩展，也可以使主裂纹尖端应力集中效果减弱，导致裂纹扩展减速，甚至不再向前扩展。因此很多的科研工作者都研究了微裂纹与主裂纹的相互影响。

Kachanov[5-7]提出了一个简化的思想来研究裂纹间的相互作用，将裂纹面上作用的面力用面力的平均值代替，从而简化了计算。闫向桥[8-9]提出了研究裂纹相互作用的数值方法。基于弹性力学复变函数方法，Gong[10-12]求解了主裂纹和微裂纹的理论解，进一步分析了微裂纹对主裂纹的影响。还有一些研究者[13-14]利用有限元模拟，研究了裂纹间的相互作用。

这些研究工作揭示了裂纹之间的相互作用机制。但是很多情况下，特别是对于脆性材料，微裂纹通常是成群的产生的，这些研究工作并没有考虑损伤区或者微裂纹区对主裂纹的影响。本文基于Gong的理论解，考虑一个微裂纹区对主裂纹的影响。

1理论阐述

1.1半无限长主裂纹与微裂纹

图1显示的是在一个无限大平面中，存在一个半无限长主裂纹与一个任意方位微裂纹。微裂纹长度为2a，主裂纹尖端到微裂纹中心的距离为d，微裂纹的方位为θ，微裂纹的角度为φ。通过应用弹性力学复变函数解法，Gong对这个问题进行了求解，得到了主裂纹尖端的应力强度因子。微裂纹引起的主裂纹尖端应力强度因子的增量为：

图1一个半无限长的主裂纹与一个任意方位的微裂纹

(1)

其中

G11=2cos(θ+φ)+4cos(θ-2φ)+ 8cos2(θ-φ)-6cos(3θ-2φ)- 8cos2(2θ-φ)-3cos3θ+3cosθ

G12=-6sin(2θ+φ)-8sin(θ-2φ)- 6sin(3θ-2φ)+8sin2(2θ-φ)+ 9sin3θ-3sin3θ

G21=-2sin(θ+2φ)+6sin(3θ-2φ)+ 8sin2(2θ-φ)+3sin3θ-sinθ

G22=-6cos(θ+2φ)-4cos2(θ-2φ)+ 8cos2(θ-φ)-6cos(3θ-2φ)+ 8cos2(2θ-φ)+9cos3θ+7cosθ

C11=cos(1.5θ)cos(0.5θ)

C12=-cos(1.5θ)sin(0.5θ)

C21=-sin(1.5θ)cos(0.5θ)

C22=sin(1.5θ)sin(0.5θ)

(2)

那么主裂纹尖端的应力强度因子可以得到：

(3)

(4)

其中，n表示微裂纹的数量。

1.2最大周向应力判据

裂纹扩展方向的研究是断裂力学的一个重要领域，对于复合型裂纹扩展，有多个判据被提出，例如最大周向应力判据[15]、最小应变能密度判据[16]和最大能量释放率判据[17]等。其中应用最广泛的就是最大周向应力判据，因为它应用简便，对脆性材料的扩展方向能比较准确地预测。最大周向应力判据是由薛昌明提出[15]，对认为裂纹将会朝周向拉应力最大的方向扩展，由此可以得到裂纹扩展方向：

(5)

其中，β为裂纹扩展方向，规定裂纹逆时针扩展为正，顺时针扩展为负。

2问题描述

本文研究一个微裂纹区域对一个半无限长主裂纹的影响，在此先考虑一个较简单的情况，如图2所示。微裂纹区域内包含5个长度相同的微裂纹，微裂纹的长度均为2a，五条微裂纹的方位分别为θ-20°，θ-10°，θ，θ+10°和θ+20°。五条微裂纹的角度均为φ=0，即均为平行的微裂纹。本文将要分析这个微裂纹区域，即损伤区对主裂纹的影响。外部载荷考虑最简单的情况，在竖直方向上承受远端拉伸，即对于主裂纹是Ⅰ型加载。

图2一个半无限长的主裂纹和一个微裂纹区

3有限元验证

为了验证式(1)～式(3)给出的公式是否正确，在这一部分建立了一个2维的有限元模型。这个模型的长为300 mm，高为400 mm，其中包含一个表面主裂纹和一个方位角θ=30°的微裂纹。主裂纹的长度为10 mm，微裂纹长度取了三个值分别为5 mm，2 mm和1 mm。有限元模型的单元类型是plane183，材料的弹性模量为90 GPa，泊松比为0.36。主裂纹尖端和微裂纹尖端均用三角形的奇异单元，有20个奇异单元围绕在裂纹尖端一周。有限元的计算是弹性的。模型的网格划分如图3所示。

图3有限元模型

4结果与讨论

4.1有限元验证

图4给出的是一个微裂纹与一个主裂纹相互作用的结果。其中的b表示的是主裂纹的长度。微裂纹的方位角取θ=30°。由图4可知，主裂纹相对微裂纹的长度越大，模拟结果就越接近理论结果，这是因为理论结果是建立在主裂纹是半无限长裂纹假设的基础上得到的，因此b/a越大，模拟结果就越接近理论结果。这也验证了理论公式的正确性。对于大多数情况而言，微裂纹相对于主裂纹时非常小的，因此Gong[10]给出的理论公式能够适用于分析微裂纹对主裂纹的影响问题。同时可知，随着微裂纹与主裂纹之间的距离增加，主裂纹尖端的应力强度因子不断地减小，这是因为距离增加，它们之间的影响就变小了。

图4模拟结果与理论结果对比

4.2微裂纹区对主裂纹应力强度因子的影响

主裂纹尖端应力强度因子随微裂纹区位置的变化如图5所示。由图5可知，主裂纹与微裂纹区之间的距离越大，主裂纹的应力强度因子越小，这与图4的结果是一致的。由图5(a)可知，当微裂纹区位于-75°<θ<75°时，微裂纹区增强主裂纹的KⅠ，而微裂纹区位于-150°<θ<-75°和75°<θ<150°时，微裂纹区减弱主裂纹的KⅠ。位于θ=105°和θ=-105°时，微裂纹区对主裂纹KⅠ的减弱作用最明显，位于θ=30°和θ=-30°时，微裂纹区对主裂纹KⅠ的增强作用最明显。从图5(b)可以看出，当微裂纹区位于-115°<θ<-30°，0°<θ<30°和115°<θ<150°时，主裂纹的KⅡ为正值。当微裂纹区位于其他的位置时，主裂纹的KⅡ为负值。位于θ=75°和θ=-75°时，微裂纹区对主裂纹KⅡ的增强作用最明显。

图5主裂纹尖端应力强度因子随微裂纹区位置的变化

4.3微裂纹区对主裂纹扩展速率的影响

由Paris公式[18]可以得知，裂纹扩展速率与应力强度因子的幅值是成正相关的关系。对于复合型裂纹，要用等效应力强度因子Keff来表示KⅠ和KⅡ作用的共同结果[19-21]：

(6)

主裂纹尖端等效应力强度因子随微裂纹区位置的变化如图6所示。由图6可知，主裂纹的Keff和KⅠ的变化情况大致一样，这是因为主裂纹的KⅡ比较小，因此它对等效应力强度因子Keff影响不大。当微裂纹区位于-75°<θ<75°时，微裂纹区增加主裂纹的扩展速率，而微裂纹区位于-150°<θ<-75°和75°<θ<150°时，微裂纹区减弱主裂纹的扩展速率。在θ=105°和θ=-105°时，微裂纹区对主裂纹扩展速率的减小作用最大，在θ=30°和θ=-30°时，微裂纹区对主裂纹扩展速率的增加作用最大。从图6也能够看出主裂纹与微裂纹区之间的距离越大，对主裂纹的扩展速率影响越小。

图6主裂纹尖端等效应力强度因子随微裂纹区位置的变化

4.4微裂纹区对主裂纹扩展方向的影响

主裂纹扩展方向随微裂纹区位置的变化如图7所示。由图7可知，当微裂纹区位于-30°<θ<30°时，对主裂纹的扩展方向影响不大。当微裂纹区位于30°<θ<115°和-150°<θ<-115°时，主裂纹朝逆时针方向扩展，当微裂纹区大约位于-115°<θ<-30°和115°<θ<150°时，主裂纹朝顺时针方向扩展。当微裂纹区大约位于θ=80°和θ=-80°时，主裂纹扩展方向偏转最大。当d/a=2是，主裂纹扩展方向最大偏转达到了45°，说明微裂纹引起了主裂纹剧烈的偏转，这个影响是非常大的。从图7中也能看出主裂纹与微裂纹区之间的距离越大，微裂纹区对主裂纹的扩展方向影响越小。

图7主裂纹扩展方向随微裂纹区位置的变化

5结论

本文基于Gong的理论公式，分析了微裂纹区对主裂纹的影响，得到的以下几点结论：

(1) 当主裂纹长度是微裂纹长度10倍以上时，Gong的理论公式是比较准确的。

(2) 主裂纹与微裂纹区之间的距离越大，微裂纹区对主裂纹的影响越小。

(3) 当微裂纹区位于-75°<θ<75°时，微裂纹区增加主裂纹的扩展速率，位于θ=30°和θ=-30°时，微裂纹区对主裂纹扩展速率的增加作用最大。而当微裂纹区位于-150°<θ<-75°和75°<θ<150°时，减弱主裂纹的扩展速率，位于θ=105°和θ=-105°时，微裂纹区对主裂纹扩展速率的减小作用最大。

(4) 当微裂纹区大约位于-30°<θ<30°时，对主裂纹的扩展方向影响不大。当微裂纹区大约位于30°<θ<115°和-150°<θ<-115°时，主裂纹朝逆时针方向扩展，当微裂纹区大约位于-115°<θ<-30°和115°<θ<150°时，主裂纹朝顺时针方向扩展。当微裂纹区大约位于θ=80°和θ=-80°时，引起主裂纹扩展方向偏转最大。

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Influence of a Micro-crack Zone on the Macro-crack Propagation

GOUKai

(School of Mechanics and Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)

The influence of a micro-crack zone on the macro-crack is analyzed based on the theoretical equation derived by Gong. The influence of the micro-crack zone on the macro-crack propagation direction is quantitatively and qualitatively investigated by the maximum circumferential stress criterion. And the influence of the micro-crack zone on the macro-crack propagation rate is qualitatively studied by the calculation of the equivalent stress intensity factor. The results show that the micro-crack zone increases the macro-crack propagation rate at -75°<θ<75°, while it decreases the macro-crack propagation rate at -150o<θ<-75° and 75°<θ<150°. The micro-crack zone has a little effect on the macro-crack propagation direction at -30°<θ<30°. The macro-crack propagates along the counterclockwise direction at 30°<θ<115° and -150°<θ<-115°, while the macro-crack propagates along the clockwise direction at -115°<θ<-30° and 115°<θ<150°. The results obtained in the paper are useful to predict fatigue and fracture behavior of brittle materials.

macro-crack; micro-crack; maximum circumferential stress criterion; propagation rate; propagation direction

2017-02-22

国家自然科学基金(11372259)

苟 凯(1993-),男,陕西咸阳人,硕士生,主要从事裂纹扩展方面的研究,(E-mail)2424947668@com

1673-1549(2017)03-0051-05

10.11863/j.suse.2017.03.11

U211.5

A