李志深，周 华，李鸿光

（上海交通大学，机械系统与振动国家重点实验室，上海 200240）

基于连接特性识别的子结构综合法

李志深，周 华，李鸿光

（上海交通大学，机械系统与振动国家重点实验室，上海 200240）

子结构综合法因其分块计算的特性，适用于由多单元组成的系统动特性的计算，但是对结构间连接的处理尚缺乏系统的分析和处理，而实际应用中，由于子结构之间的连接较为复杂，导致传统的机械导纳法计算结果准确性较低。考虑子结构综合法中连接单元特性对综合计算带来的影响，引入虚阻抗的概念，在结构综合计算中将连接单元对结构特性的影响以阻抗阵的形式引入进来，而连接单元的特性则根据整体单元及各个子单元的频响特性逆向推导所得，通过离散单元及弹性连续体单元模型验证考虑连接特性的综合方法在计算上的准确性，并将方法引入到铣刀动特性的预测中，通过设计实验验证了方法的可靠性。

振动与波；子结构综合法；连接；阻抗辨识；铣刀动特性

在复杂结构的动态分析中，有限元方法的应用极为广泛，将无穷多自由度的系统离散化为一个个有限单元，再将分别计算得到的各个单元的质量、刚度矩阵合成系统矩阵，但是由于结构较为复杂，往往系统矩阵的阶次较高，需要很高的计算时间和空间，这对于由多单元组成的结构优化显得尤为不便，结构中每个单元的改动都需重新对整个系统进行计算，因此子结构综合方法应运而生：在计算中分别计算每个子单元的动态特性，再根据子单元间的连接条件，将他们的动态特性进行综合得到总的结构的动态特性[1]，这种方法可极大地降低结构优化过程中计算的复杂程度。

显然，在子结构计算中，子结构之间连接条件的定义，会对结构的动特性带来较大的影响。在很多计算过程中，往往将各子结构之间的连接作为刚性连接处理[2–3]，这会导致计算结果与结构实际特性产生较大的差异，为了提高计算的准确性，很多学者将连接作为柔性连接处理[4]，黄在中将浮筏与舱体之间的隔振器连接用弹簧阻尼单元来表示，得到了与真实特性极为接近的结果[5]。但是该方法仅适用于简单明确的连接计算中（比如隔振器、弹簧等连接），而对于多数复杂连接结构，由于其连接刚度及阻尼难以确定[6]，使得该方法具有十分明显的局限性。

本文对结构之间的连接提出了虚阻抗的假设，在假设的基础上给出结构间连接节点之间的位移连续及力平衡条件，并推导出基于连接特性识别的子结构综合法VJF-FRF（Virtual Joint Identify），并根据子单元与综合单元动态特性给出连接特性的逆向推导，通过仿真和试验对比，证明相比于传统的方法(Direct-FRF)[2]，本文提出的基于连接特性识别的子结构综合法能够得到与实际结构更为吻合的结果，可广泛应用于复杂结构动特性快速计算及结构单元的优化中。

1 子结构综合理论

在子结构综合方法中，首先将总的结构分成一个个子结构，如图1所示。

图1 子结构综合法

将整体单元分成A、B两个子结构，并通过有限元计算或试验测试获得各个子单元的频响特性

式(1)中下标j表示单元的界面坐标，即单元之间产生连接所对应的坐标，i表示非界面坐标，若将结构间的连接视为刚性连接，此时结构的界面连接坐标之间满足力平衡及位移连续条件[7]

将两个单元综合后，整个系统的频响特性可表示为

结合式(1)－式(3)可推导综合结构与子结构间频响特性满足

将上述方法称为直接频响综合法（Direct-FRF），当子结构之间以刚性连接时（例如焊接），上述方法往往能够得到较为精准的结果，但是当连接刚性不足时，使用上述方法所得到的结果与实际测试结果存在偏差，图2（a）所示为铣刀夹持模型，一般计算中将铣刀伸出部分直接作为悬臂梁进行处理如图2中的（c），对比测试与计算结果显然此时计算的固有频率有着明显的偏差，同时为了进一步说明连接特性带来的影响，保持伸出长度不变，增长铣刀的夹持长度，如图2（b），图3是结构1阶频率在不同夹持情况下动特性的对比图，结果显示，显然将结构间的连接作为刚性连接进行处理，难以得到令人满意的结果。

图2 不同夹持铣刀动特性测试

图3 铣刀动特性测试结果

当子单元结构之间弹簧阻尼形式（隔振器）连接时，将隔振器阻抗矩阵Z带入综合计算中[8]，式(5)即为改进后结果

此时能够对计算结果做出一定程度的修正，但是由于结构间的连接较为复杂，结构连接的阻抗矩阵难以确定，使得该方法具有一定的局限性，仅适用于某些简单连接单元的综合计算，通过多次测试的方法可以拟合连接单元之间的阻抗阵，但这往往难以得到较为准确的计算结果，针对此问题，本文提出了基于连接特性识别的子结构综合法。

2 基于连接特性识别的子结构综合法

2.1 子结构综合计算

子结构综合中，连接单元的适当处理是保证计算准确性的关键，为了便于推导和计算，结合有限元原理提出连接单元虚阻抗（Virtual Joint）的定义，将连接视为单独单元，并由s×s组弹簧阻尼单元组成的无质量结构，其中s为节点的自由度数。

为了更好地描述方法的推导过程，以2自由度的变截面梁单元为例，展开算法的推导过程，如图4。

图4 变截面梁单元模型

模型中各子结构单元的频响矩阵可表示为

同时，连接单元各自由度间的耦合效果一般比较微弱[8]，此时ZJ退化为一对角阵，此时结合式(6)－式(8)可得出系统新的平衡条件为

将式(6)代入式(9)中，消去中间量Xi、θi，界面连接作用力与节点力之间关系可表示为

式(11)即为综合结构频响与子结构单元频响之间的关系。

2.2 连接特性的逆向推导

以上给出了将连接单元进行虚阻抗假设下的频响综合的推导，在计算过程中，结构间连接以虚阻抗的形式hJ/pJ引入综合结构频响的计算中，如何根据子结构单元及综合单元特性准确的辨识这两个参数是方法应用的关键，接下来将给出连接虚阻抗的辨识方法。

根据参数辨识理论，式(11)包含两个未知量，需要两个包含变量的等式关系，此时可以取推导矩阵中的前两项来求取未知量hJ/pJ，将等式展开为

式中G11G12为综合结构中的原点及跨点导纳，即

式中包含的brr/brt/btr/btt对应为式(7)中B矩阵中的各项，即

其中，由于HJ矩阵为对角阵，即brtbtr两项为已知变量，待求解变量hJpJ分别被囊括在变量brrbtt中，此时公式可解得

算法的主要架构见图5。

3 方法验证

3.1 仿真验证

为了检验文中所提出的频响综合方法，分别采用离散单元及弹性连续体单元来验证频响综合计算的准确性。

（a）离散单元验证

图6为所设计的离散单元模型，模型是由质量、弹簧及阻尼单元组成4自由度单元，按照频响综合的理论将模型分为由A、B两个子结构单元组成，每个单元包括一个内点和一个外连接点，子结构之间通过弹簧阻尼单元连接，分别计算子结构的频响矩阵，在通过频响综合的方法推导耦合单元的频响特性，并与直接计算整体结构的频响结果进行对比，对比结果如图7所示。

从图7可以明显看出，频响综合计算与直接计算所得到的结果，无论是共振频率还是共振峰值几乎完全吻合，为了进一步说明方法在应用上的普适性，接着将方法应用到连续弹性体的频响特性的计算中。

（b）连续弹性体单元验证

图8是进行仿真验证所设计的连续弹性体模型，模型为机架-冷凝器模型，结构单元A为冷凝器模型，结构单元B为机架模型，冷凝器与机架通过四个螺栓及橡胶垫连接，根据设计要求，定义各子单元计算中的主自由度分别为

图5 算法架构

图6 离散验证模型

图7 离散单元计算结果对比图

图8 弹性连续体验证模型

利用Ansys计算两个子结构单元的完整频响矩阵HA/HB，并计算装配单元的

图9 连接单元虚阻抗计算结果

结合推导所得的连接特性及子结构单元频响矩阵HJ/HA/HB，可以推导综合单元整体频响矩阵取其中的任一值与通过有限元直接计算所得Gij进行比较，此处展示1点、4点x方向上的频响比较结果，见图10。

从图10中对比结果可以看出，推导所得与有限元计算的结果，无论是共振频率还是幅值都较为吻合，从而进一步验证了方法的准确性。

3.2 试验验证

为了验证方法的准确性，利用铣刀模型设计验证试验：分别设计了两把不同长度的刀杆，如其中短刀杆总长130，长刀总长180，见图11。试验中首先对短刀杆通过结构测试及有限元，推导出30 mm夹持长度下的连接虚阻抗，在结合计算出的连接阻抗推导同样夹持状态下，长刀杆的频响特性，对比计算与测试结果，与图5相类似，在计算中节点自由度包括两个

图10 综合结构频响计算结果对比图

图11 实验设计图

图12 铣刀动特性测试实验

试验步骤为：

S1.通过锤击法，测试平台如图12，测试主轴端点P1的原点导纳矩阵HA；

S2.采用梁单元对短刀杆进行建模，计算短刀杆两端点P1、P2的原点及跨点导纳，得到短刀杆频响矩阵HB；

S3.安装短刀，测试P1、P2点在u方向上的导纳推导计算对应的连接虚阻抗HJ=diag(hJ，pJ)，推导结果如图13所示；

S4.采用梁单元对长刀杆进行建模，计算长刀杆两端点P1、P3的原点及跨点导纳，获取长刀杆频响矩阵HC，根据式(11)结合HA/HC/HJ推导计算长刀杆夹持状态下的频响矩阵

S5.安装长刀，测取此时结构的频响矩阵GA-C，并与S4中推导结果相对比，取P3点在u方向上的原点导纳对比结果进行展示，如图14。

图13 连接单元计算结果

图14 长刀杆频响计算结果对比

统计分别经测试及两种不同方法所得长刀杆1阶固有频率，如表1所示。

表1 不同计算方法计算结果对比

结合图与表中的分析结果可以明显地看出，相比于传统的机械导纳法，采用基于连接特性识别的频响综合法能够得到与实测结果更加吻合的频响矩阵。

4 结果讨论与比较

（1）根据图3结果说明，在使用子结构综合理论进行计算时，忽略结构间的连接特性会带来一定的计算偏差；

（2）由图7、图10、图14和表1的分析结果可知，采用虚阻抗的假设，能够在计算中将结构间连接的特性考虑进来，使得计算结果与结构实测结果更为接近，仿真和试验的结果验证了本文所提出的基于连接特性识别的子结构综合法的可靠性。

5 结语

本文从子结构综合法的计算原理出发，考虑子结构单元之间连接特性对计算所带来的影响，并基于此提出了连接虚阻抗的假设，在假设的基础上推导结构新的位移连续及力平衡条件，将连接带来的影响带入结构的综合计算中，并逆向推导出连接特性的识别方法。

通过设计仿真和试验证明，相比于传统的方法，提出的基于连接特性识别的子结构综合法能够得到与实际结构更为吻合的结果，可应用于复杂结构动特性快速计算及结构单元的优化中。

[1]王文亮，杜作润.动态子结构法的国内进展[J].力学进展，1985，15(1)：21-30.

[2]柴银刚，孟德浩，龙新华，等.高速主轴-夹具-刀具系统动态特性分析[J].噪声与振动控制，2013，33(6)：25-30.

[3]MATTHIAS W,ÖZŞAHIN O,ALTINTAS Y,et al. Receptance coupling based algorithm for the identification of contact parameters at holder-tool interface[J].CIRP Journal of Manufacturing Science and Technology, 2016,13:37-45.

[4]MATTHIAS W,ÖZŞAHIN O,ALTINTAS Y,et al. Receptance coupling based algorithm for the identification of contact parameters at holder-tool interface[J].CIRP Journal of Manufacturing Science and Technology, 2016,13:37-45.

[5]黄修长，徐时吟，张志谊，等.基于频响函数综合的舱筏隔振系统灵敏度分析和优化[J].振动与冲击，2011，30 (5)：145-151.

[6]李玲，蔡力钢，郭铁能，等.子结构综合法辨识结合部的特征参数[J].振动、测试与诊断，2011，31(4)：439-444.

[7]SJÖVALL P,ABRAHAMSSON T.Substructure system identification from coupled system test data[J].Mechanical Systems and Signal Processing,2008,22 (1):15-33.

[8]SCHMITZ,T L,DONALSON,R R.Predicting high-speed machining dynamics by substructure analysis[J].CIRP Annals 2000-Manufacturing Technology,2000,49(1): 303-308.

An Improved Substructure Synthesis Method Based on the Identification of Joint Characteristics

LI Zhi-shen,ZHOU Hua,LI Hong-guang
(State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration,Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200240,China)

Substructure synthesis method is widely used in the calculation of multi-unit system for its block calculation characteristics.However,there is a lack of systematic analysis for the joints of the substructures.Since the joints are usually complex and have a great influence on the dynamic performance of the whole system,they will reduce the accuracy of the computation results of the traditional mechanical admittance method.In this article,the concept of virtual impedance is proposed,the effect of the joint element between substructures of the system is introduced by using the virtual impendence matrix into the comprehensive calculation.The performance of the joint elements can be obtained by reciprocal formulation according to the frequency response characteristics of the system elements and the sub-elements.The computation accuracy of this method is verified by the models of discrete and elastic continuous elements.Finally,this method is applied to the prediction of dynamic characteristics of milling tools.It is concluded that the proposed method is more accurate than the traditional one by comparing the results with the measurement results.

vibration and wave;substructure synthesis method;joint;virtual impendence identify;dynamic characteristics of milling tools

TH133.1；TH165.3

：A DOI编码：10.3969/j.issn.1006-1355.2017.03.001

1006-1355(2017)03-0001-06

2017-02-13

国家自然科学基金资助项目(1142780054)

李志深（1994－），男，山东省菏泽市人，硕士生，主要研究方向为实验模态分析。

李鸿光，男，博士生导师。E-mail:hgli@sjtu.edu.cn