雷玲玲

330001 南昌市洪城学校 江西南昌

【摘 要】①公元前580～568年之间，希帕索斯发现了第一个无理数，促使了第一次数学危机的发生。而后，在几何学中引进了不可通约量，使欧式几何变得更加完善。②大约在公元前450年，莱布尼茨提出“无穷小量是零还是非零”促使了第二次数学危机的发生。而后，柯西提出极限理论，使微积分更完善。③十九世纪下半叶，罗素悖论的提出，促使了第三次数学危机的发生。而后，弗芝克尔改进策梅罗的七条公理得出ZF公理系统，使得集合论得到了发展。

【关键词】危机；无理数；无穷小；罗素悖论

数学，绝对不是只有加、减、乘、除那样简单的运算而已。它是一个早从“石器时代”就开始发展的一段历史，是一个演变和提升的过程。悖论历史悠久，它的出现，本来并没有引起人们的重视，可是由于19世纪末20世纪初，在集合论中出现了3个著名的悖论，引起了当时数学界、逻辑学界以至于哲学界的震惊，触发了数学史上的第三次危机，才引起了现代数学界和逻辑学界的极大注意。本文试图对悖论的定义、成因以及由于数学悖论引起的数学史上的三次危机作以简要分析。

1第一次数学危机及成因

1.1危机介绍

第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。……