文 /沈岳夫

构造辅助圆解题

文 /沈岳夫

责任编辑：王二喜

在解几何与代数的综合题时，有时遇到一些用常规方法较难解决的问题. 这时，我们可以构造辅助圆来使问题转化，从而简捷地解决问题.

例 1 （2015年威海卷）如图1，已知AB=AC=AD，蚁CBD=2∠BDC，蚁BAC=44°，则∠CAD的度数为（ ）

A.68°. B.88°. C.90°. D.112°.

解：如图1，∵AB=AC=AD，

∴ 点B、C、D在以点A为圆心，以AB为半径的圆上，

∵∠CBD=2∠BDC，蚁BAC=2∠BDC，蚁CAD=2∠CBD，∴∠CBD=∠BAC，

∴∠CAD=2∠BAC，而蚁BAC=44°，

∴∠CAD=88°. 选B．

图1

点评：该题主要考查圆周角定理及其推论的应用.作辅助圆，将分散的条件集中，便于解题.

例 2 在△ABC中，蚁ABC=45°，tan∠ACB=．如图2，把△ABC的一边BC放置在x轴上，OB=14，OC=，AC与y轴交于点E．

图2

（1）求AC所在直线的解析式；

（3）已知点F（10，0），在△ABC的边上取两点P，Q，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形与OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

所以EG=6，OG=10，

（3）要使以O，P，Q为顶点的三角形与△OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧，则只存在两种情况：即OF=OQ或OF=PQ．

①当OF=OQ时，以O为圆心，OF长为半径画圆，确定点Q的位置（如图3、4），作∠FOQ的角平分线确定P点.

当点Q在AC上（如图3），由（2）知OG=10，则点G与点Q重合.

由△OP1F≌△OP1Q1，则有P1Fx轴，

由于点P1在直线AC上，

当x=10时，

图3

设OH=a，则BH=QH=14-a.

在Rt△OQH 中，a2+（14-a）2=102，解得a1=6，a2=8，

所以Q2（-6，8）或Q3（-8，6）．

连接QF交OP2于点M，则M是QF的中点，

当匝3（-8，6）时，则点1（1，3）．

设直线OP2的解析式为y=kx，把M（2，4）代入，解得k=2，

所以y=2x．

图4

图5

图6

当M1（1，3）时，同理可求得

当Q在BC边上（如图5），OQ=OF=10，点P4在E点，

②当OF=PQ，QP∥OF时（如图6），显然四边形OFPQ是平行四边形，

设P的横坐标为x，则点Q的横坐标为x-10.

因为yP=yQ，又可求得直线AB的函数解析式为y=x+14，

综 上 所 述 ， 满 足 条 件 的 P点 坐 标 为

点评：构造辅助圆，可使隐性问题显性化，由三角形全等，确定思维方向，从而解问题．