涂正文++吴艳秋++邹黎敏

【摘要】基于“授之以鱼，不如授之以渔”的教学理念，本文浅谈如何将“聚零为整，化整为零”的思想方法巧妙地融入线性代数的课程教学与解题中，同时突出该思想方法在该门课程中应用的重要性.

【关键词】聚零为整；化整为零；线性代数

一、线性方程组求解中的“聚零为整，化整为零”

设含m个方程，n个未知量的线性方程组

a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1，a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2，…am1x1+am2x2+…+amnxn=bm.（1.1）

利用矩阵的乘法，可以将其每一个方程表示成矩阵乘积的形式，即有

（ai1，ai2，…，ain）x1x2xn=bi，（i=1，2，…，m），这m个等式的左边有一个共同点，其中第二个矩阵都为（x1，x2，…，xn）T.利用矩阵的乘法将这m个等式“聚零为整”，则有a11a12…a1na21a22…a2nam1am2…amnx1x2xn=b1b2bm .（1.2）

（1.2）式便是線性方程组的矩阵形式.

注释：（1.1）式变形成（1.2）便是“聚零为整”，反之，（1.2）式变形成（1.1）便是“化整为零”.

例1 试用矩阵乘积的形式表示A=（aij）m×n的每一行的元素之和等于k.

解 由条件可得x1+x2+…+xn=k，x1+x2+…+xn=k，…x1+x2+…+xn=k. 将其按上述思想“聚零为整”，有a11a12…a1na21a22…a2nam1am2…amn111=kkk .

二、向量组线性表示中的“聚零为整，化整为零”

设向量组B：β1，β2，…，βs可由向量组A：α1，α2，…，αm线性表示，且线性表示式为

β1=k11α1+k21α2+…+km1αm，β2=k12α1+k22α2+…+km2αm，…βs=k1sα1+k2sα2+…+kmsαm.（2.1）

利用“聚”的思想将这s个等式“聚零为整”，有

（β1，β2，…，βs）=（α1，α2，…，αm）k11k12…k1sk21k22…k2skm1km2…kms .（2.2）

（2.2）便是（2.1）的矩阵形式.

注释：（2.1）式变形成（2.2）便是“聚零为整”，反之，（2.2）式变形成（2.1）便是“化整为零”.

例2 试写出线性表示式β1=α1+2α2+3α3，β2=α1+5α2+7α3，β3=α1+α2+6α3 的矩阵形式.

解 按上述思想“聚零为整”，有

（β1，β2，β3）=（α1，α2，α3）111251376 .

三、方阵可对角化中的“聚零为整，化整为零”

定理 n阶方阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量.

注释：充分性的证明过程体现了“聚零为整”，必要性的证明过程体现了“化整为零”.

例3 A，B分别为m×n，n×l的矩阵，且满足AB=0，证明R（A）+R（B）≤n.

注释：此题的证明过程便体现了“化整为零”的思想方法.

例4 设A为n阶矩阵，如果对于任一n维向量x=（x1，x2，…，xn）T都有Ax=0，证明A=0.

注释：此题的证明过程便体现了“聚零为整”的思想方法.

教学实践证明，将“聚零为整，化整为零”的思想应用于抽象难懂枯燥的线性代数的教学和解题中，有助于学生对该门课程知识的掌握，同时对于学生自学能力的培养是有帮助的.

【参考文献】

[1]姜友谊，吴艳秋，邹黎敏.线性代数[M].北京：科学出版社，2015.

[2]杨贤仆.线性代数中“聚零为整，化整为零”的思想[J].西南师范大学学报（自然科学版），2009（5）：235-239.

[3]张志让，刘启宽.线性代数与空间解析几何[M].北京：高等教育出版社，2009.