曾位

【摘要】极限是高等数学中的重要概念之一，它既是用来刻画变量在变化过程中变化趋势的一个基本概念，又是研究高等数学的重要工具和思想方法，作为高等数学的基础，它贯穿于整个高等数学始终.极限的求法是高等数学学习中的难点之一，又是全国专升本入学考试数学公共科目必考的内容.求极限的方法较多，本文基于教师在高职生的教育教学中针对高职生的学习现状归纳总结出了几种常用的易于高职生学习的求极限的方法，并给出了几道专升本真题实例，希望对专升本的学生有一定的帮助.

【关键词】一元函数；极限；实例

极限是高等数学中的两个重要概念之一，是高职学生进入大学后所学的第一个新的数学概念，是研究高等数学的重要工具和思想方法，作为高等数学的基础，它贯穿于整个高等数学始终.一元函数极限的求法是高职学生高等数学学习中的难点之一，又是全国专升本入学考试数学公共科目必考的内容.求一元函数极限的方法较多，本文基于本人在高职生的教育教学中针对高职生的学习现状归纳总结出了在实际计算中用的较多、专升本考试中出现次数较多的几种.

一、一元函数极限求法例析

（一）分段函数在某一点（左右两侧函数表达式不一样）时求极限

求分段函数在某一点（左右两侧函数表达式不一样）的极限，要根据定理，即 limx→x0f（x）=A limx→x-0f（x）=limx→x+0f（x）=A，特别注意当函数在某一点的左极限和右极限都存在但是不相等时，则函数在这一点的极限是不存在的.

例1 设函数f（x）=x，x<1，x-1，x≥1，

求 limx→1f（x）.

解 因 limx→1-f（x）=limx→1-x=1， limx→1+f（x）= limx→1+（x-1）=0，所以 limx→1f（x）不存在.

例2 设函数f（x）=|x|=-x，x<0，x，x≥0， 求 limx→0f（x）.

解 因 limx→0-f（x）= limx→0-（-x）=0， limx→0+f（x）=limx→0+x=0，所以 limx→0f（x）=0.

（二）一般一元函数求极限

1.有理整式函数直接代入法求极限

一般地，对于有理整式函数（多项式）f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0，有 limx→x0f（x）=f（x0）.

例3 求 limx→2（x4-3x2-6）.

解 原式=24-3×22-6=-2.

2.有理分式函数求当x→x0时的极限

对于有理分式函数f（x）=S（x）T（x），S（x），T（x）均为多项式.（1）当 limx→x0T（x）=T（x0）≠0时， limx→x0S（x）T（x）=S（x0）T（x0）；（2）当 limx→x0S（x）=S（x0）≠0， limx→x0T（x）=T（x0）=0时， limx→x0S（x）T（x）=∞；（3）当 limx→x0S（x）=S（x0）=0， limx→x0T（x）=T（x0）=0时，在求“00”型极限时，先对分子、分母进行因式分解或其他恒等变形（如，分子或分母有理化、三角恒等变形等），消去零因子，再求极限.

例4 求 limx→12x+22x2+x+1.

解 原式=limx→1（2x+2）limx→1（2x2+x+1）=2×1+22×12+1+1=1.

例5 求 limx→1x-3x2-5x+4.

解 x=1时，分母=0，分子≠0，但因 limx→1x2-5x+4x-3=12-5·1+41-3=0，∴limx→1x-3x2-5x+4=∞.

例6 求 limx→12x2-x-13x2-2x-1.

解 原式= limx→1（x-1）（2x+1）（x-1）（3x+1）= limx→12x+13x+1

=2×1+13×1+1=34.

3.有理分式函数求当x→∞时的极限

一般地，對于有理分式函数

f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0bmxm+bm-1xm-1+…+b1x+b0，

求 limx→∞f（x）的方法：分子、分母同除以x的最高次幂.

结论： limx→∞f（x）=0，m>n，anbm，m=n，∞，m

例7 求 limx→+∞2x4+x2-13x5-4x+2.

解 原式= limx→+∞2x+1x3-1x53-4x4+2x5=0+0-03-0+0=0.

例8 求 limx→-∞2x3+x-13x3+x2.

解 原式= limx→-∞2+1x2-1x33+1x=2+0-03+0=23.

4.利用两个重要极限公式求极限

利用两个重要极限公式，即 limx→0sinxx=1和 limx→∞1+1xx=e，可得出两个推导公式，即 limx→∞sinxx=0和 limt→0（1+t）1t=e，只要牢记两个重要极限公式的本质，即 lim□→0sin□□=1和 lim□→∞1+1□□=e（其中□表示x的函数），则此类极限问题就可迎刃而解了.

例9 求 limx→0sin5xx.

解 limx→0sin5xx=5limx→0sin5x5x=5×1=5.

例10 求 limx→∞1+1xx2.

解 limx→∞1+1xx2=limx→∞1+1xx12

=limx→∞1+1xx12=e12.

5.利用函数的等价无穷小代换求极限

定义：设limX=0，limY=0，且Y≠0，若 limXY=1，则称X与Y是等价无穷小量，记为X～Y.

定理：设在某一极限过程中，α～α′，β～β′，若limβ′α′=a（或为∞），则limβα=limβ′α′.定理告诉我们：在计算只含有乘、除法的极限时，无穷小量可以用其等价无穷小量替代.

常用的等阶无穷小列举如下：当x→0时，有sinx～x，arcsinx～x，tanx～x，arctanx～x，1-cosx～x22（这里的x可以换为□，其中□表示x的函数）.

例11 求 limx→0tan3xsin5x.

解 limx→0tan3xsin5x=limx→03x5x=35（因为tan3x～3x，sin5x～5x，所以可以替换）.

例12 求 limx→01-cosxx2.

解 limx→01-cosxx2=limx→012x2x2=12（因为1-cosx～x22）.

注意：如果在加减法中用等价无穷小量替代，则会产生错误，如，limx→0tanx-sinxx3=limx→0x-xx3=0.

6.利用洛必达法则求极限

对于“00”或“∞∞”型未定式求极限，用定理：

（1）limf（x）=limF（x）=0（或为∞）；（2）f（x）与F（x）在∪°（a）内（或|x|>N）可导且F′（x）≠0；（3） limf′（x）F′（x）存在（或为∞），则有 limf（x）F（x）=limf′（x）F′（x）.

例13 求 limx→0x-sinxx3.00

解 原式=limx→01-cosx3x2=limx→0sinx6x=16.

例14 求 limx→+∞lnxxn（n>0）.∞∞

解 原式=limx→+∞1xnxn-1=limx→+∞1nxn=0.

二、專升本真题分析

在我们的实际解题过程中，特别是专升本考试数学题目中，需要把几种方法结合起来，综合地应用，这就要求我们的思维要开阔，头脑要灵活，下面举几道真题中的计算题实例说明.

例1 （2012年重庆市专升本）计算极限 limx→0x-sinxtan2x.

解 原式=limx→0x-sinxx2（此步骤用了函数的等价无穷小替换，即tanx～x）

=limx→01-cosx2x（此步骤用了洛必达法则）

=limx→0sinx2（此步骤继续使用了洛必达法则）=0.

例2 （2015年成人高考专升本）计算 limx→1sin（x-1）x2-1.

解法一 原式=limx→1sin（x-1）（x+1）（x-1）（此步骤根据因式分解而来）

=limx→11x+1×limx→1sin（x-1）x-1（此步骤依据极限运算四则运算）

=12×1（此步骤依据两个重要极限的第一个极限计算，即 lim□→0sin□□=1，此时“□”表示的是“x-1”）=12.

解法二 原式=limx→1x-1x2-1（此步骤应用了函数的等价无穷小替换，即当x→1时，sin（x-1）～（x-1））

=limx→11x+1（此步骤应用了因式分解求法）=12.

解法三 原式=limx→1cos（x-1）2x（此步骤用了洛必达法则计算）=12.

例3 （2016年重庆市专升本）求极限limx→0ex-cosxtan2x.

解 原式=limx→0ex-cosx2x（此步骤应用了函数的等价无穷小替换）

=limx→0ex+sinx2（此步骤用了洛必达法则计算）=12.

【参考文献】

[1]易新友.高等数学[M].长沙：湖南师范大学出版社，2015.