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由教材中的拓广探索题引发的变式训练的思考

2017-06-20徐志旋

数学学习与研究 2017年11期
关键词:延长线四边形线段

徐志旋

教材中的例题、习题的拓广与证明是经过数学专家精心筛选出来的,具有经典性与代表性,理应引起我们一线教师的重视.在人教版八年级数学下册第92页中,有一道拓广探索题,通过对这道题的解答和证明过程,值得我们进一步思考和探讨.

问题 如图1,用硬纸板剪一个平行四边形,作出它的对角线的交点O,用大头针把一根平放在平行四边形上的直细木条固定在点O处,拨动细木条,使它随意停留在任意位置,观察几次拨动的结果,你发现了什么?证明你的发现.

分析 在木条的运动过程中,虽然木条位置在改变,但是有不变的量,OA=OC,∠DAC=∠BCA,∠AOE=∠COF,可证明△AOE≌△COF,同样可证明△DOE≌△BOF,故可以得到线段OE=OF.这三个结果都不会随木条位置的改变而改变.

如果这道题就此结束的话,达不到拓广探索的目的.教师应该在课堂教学中发掘教材,激活学生的数学思维.对于这道题,可以充分地进行拓广.

拓广一 如图2,连接BE,DF.请猜想四边形BEDF是什么四边形,并给出证明.

分析 可以先猜测四边形BEDF是平行四边形,结合上题的结果可知:OE=OF,OB=OD.故得到证明.

拓广二 如图3,题目的所有条件不变,只是把图形进行了改变,可对学生提出问题,△AOE≌△COF,△DOE≌△BOF,线段OE=OF这些结论还成立吗?为什么?连接BF,DE,四边形BEDF还是平行四边形吗?

拓广三 题目的所有条件仍然不变,图形进一步进行改变,如图4、图5所示.

可继续给学生提出问题,△AOE≌△COF,△DOE≌△BOF,OE=OF,四边形BEDF是平行四边形这几个结论还成立不成立?

这样,通过教师一步一步地拓广,学生的思维能力得到提高.其实这几个题目的变形,只是题目的图形发生了改变,学生不仔细分析就不知道如何入手,如果教师能在平时的教学中坚持经常性地使用类似这样的变式训练,学生对这种类题接触多了,以后再遇到这类题就迎刃而解了.

接着我们来看新人教版八年级数学下册第122页的习题,继续来探索拓广与证明的方法.

问题 如图6,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分线CF于点F.求证:AE=EF.(提示:取AB的中点G,连接EG)

说明 新人教版初中数学章节复习题分三个层次展开——复习巩固、综合运用、拓广探索,循序渐进、由浅入深.“拓广探索”环节不仅是对知识内涵的拓展,更是知识应用的外延,旨在培养学生的探究能力与创新能力.为了降低学生的解题难度,本题还进行了方法提示.

证明 取AB的中点G,连接GE.

∵四边形ABCD是正方形,

∴AB=BC,∠B=∠BCD=90°.

∵点G、点E分别是AB,BC的中点,

∴AG=BG=BE=CE,

∴∠BGE=∠BEG=45°,∴∠AGE=135°.

∵CF是正方形外角的平分线,

∴∠DCF=45°,

∴∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°.

∵∠AEF=90°,∠B=90°,

∴∠CEF+∠BEA=90°,

∠GAE+∠BEA=90°,

∴∠GAE=∠CEF,

∴△AGE≌△ECF(AAS),

∴AE=EF.

拓廣一 此题E点是边BC中点,是一个特殊的点,这时,可以给学生提出问题,假如E点改为一个普通的点,且可以在边BC上运动.如图7,其他条件不变,则AE=EF吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.

分析 由特殊到一般,化静为动.证明方法可以借鉴原题中的提示,可以在AB上截取BG=BE,连接GE.

图8

拓广二 如图8,若E是线段BC延长线上的一点,其他条件不变,AE=EF成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.

分析 本题在拓广一的基础上继续向外延伸,点E由在有限区间运动延伸到无限区间运动,让学生的发散思维能力达到了一个更广阔的空间,学生学习的积极性进一步高涨,变通能力得到了有效提高,解决问题的能力得到了加强.至于证明方法可在前面的基础上让学生自己思考、自己证明.

图9

拓广三 如图9,若E是线段CB延长线上的一个动点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分线CM的反向延长线于点F.AE=EF成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.

分析 当点E是线段BC的反向延长线上的一个动点时,学生的好奇心再次被激发,求知欲得到增强.教师可以适当地引导学生,学生通过猜想、探索、讨论、对比、验证,写出证明过程.

从以上三个拓广题的证明过程来看,用到了分类讨论的思想,其解题思路与方法看似不同,其结果却是殊途同归——证明两个三角形全等.而辅助线的作法又是那么相似,例如,拓广二中的点E在线段BC的延长线上,则其解题策略是在线段BA的延长线上截取AG=CE,而拓广三中当点E在BC的反向延长线上时,其解题策略是在BA的反向延长线上截取BG=BE.通过这种解题方法的指引,让学生掌握类比探究的解题方法,达到了教是为了不教的教学效果.

在素质教育的今天,考试更重视考查学生的素质,教师必须多钻研新课程标准,多研究教材,吃透教材,灵活应用教材.《初中数学课程标准》中指出:“数学教学活动应激发学生兴趣,调动学生积极性,引发学生的数学思考,鼓励学生的创造性思维;要注重培养学生良好的数学学习习惯,使学生掌握恰当的数学学习方法.教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础,面向全体学生,注重启发式和因材施教.教师要发挥主导作用,处理好讲授与学生自主学习的关系,引导学生独立思考、主动探索、合作交流,使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,获得基本的数学活动经验.”由此可见,培养和发展学生的数学思维是新课程理念下的重要目标.如何培养学生良好的数学思维呢?经过教学实践发现,合理利用变式训练能有效激活学生数学思维.

教材中的例题、习题都是较好的教学资源.教师在平时的教学中要针对一些例题、习题,尤其是拓广探索题,进行挖掘、进行变式练习,这些都可以成为或已经成为综合性较好的中考试题.

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