张树鹏

【摘要】向量最值是高中数学重要内容，基于向量的几何、代数、不等式的特征，渗透数形结合思想、函数思想与不等式思想，采用数形结合法、函数构造法与灵活放缩不等式，是破解向量最值的三种有效的途径方法.

【关键词】向量；最值途径

向量是高中数学的重要内容，高考中常以小题、大题交织融合三角函数、解析几何、立体几何、不等式等知识为主要内容，充分体现了向量工具性特征.向量既有“数”的抽象，又兼“形”的直观，是沟通代数与几何的天然桥梁.平面向量中的最值问题不仅是向量的重要内容，更会使学生们不知所措，无从下手，本文就向量最值问题的破解作一浅析.

一、基于向量“几何性”，通过数形结合求最值

向量的平行四边形法则、三角形法则与平面向量基本定理都是向量“形”的特征，将向量问题置于适当的几何背景之中，抽象问题直观化.

例1 （2016安徽合肥质检）在三角形ABC中，若∠BAC=120°，AB·AC=-1，則|AB-AC|的最小值等于多少？

解析 由AB·AC=|AB|·|AC|·cos120°=-1，

得|AB|·|AC|=2.

由图示可知|AB-AC|=|CB|，

余弦定理可得

|CB|2=|AB|2+|AC|2-2|AB|·|AC|·cos120°.

由基本不等式|AB|2+|AC|2≥2|AB|·|AC|=4，

从而可得最小值为6.

点评 高考命题重视知识的交互渗透，是知识网络的交汇.平面向量是“数”与“形”结合的最佳体现，所以数形结合法是解决向量问题的首选途径.

二、基于向量“代数性”，通过构造函数求最值

平面向量坐标法，从根本上实现了向量的“代数化”，凸显了向量的代数特征，通过向量的坐标化，将向量最值问题转变为函数最值求解问题.

例2 （2015年福建高考）已知AB⊥AC，|AB|=1t，|AC|=t.

若P点是△ABC所在平面内一点，且AP=AB|AB|+4AC|AC|，则PB·PC的最大值等于多少？

解析 如图设A为原点，AB，AC所在直线为x轴，y轴，建立直角坐标系，则

A（0，0），B1t，0，C（0，t），

∴AB|AB|=（1，0），AC|AC|=（0，1），

∴AP=AB|AB|+4AC|AC|

=（1，0）+4（0，1）=（1，4），

∴点P的坐标为（1，4），PB=1t-1，-4，

PC=（-1，t-4），

∴PB·PC=1-1t-4t+16=-1t+4t+17≤-4+17=13.

当且仅当1t=4t，即t=12时，取“=”，∴PB·PC最大值为13.

评析 在处理许多向量问题时，坐标化是一种常见思路，本题中利用坐标运算，将PB·PC转化为变量t的函数，结合基本不等式得出最值.

三、基于向量“不等性质”，通过不等式放缩求最值

向量不等式性质有||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|等，灵活应用向量模不等式可有效地解决向量最值问题.

例3 （2014年湖南高考）在平面直角坐标系中，0为原点，A（-1，0），B（0，3），C（3，0），动点D满足|CD|=1，则|OA+OB+OD|的最大值.

解法1 由向量坐标运算法，设D（x，y），

则|CD|=1，∴（3-x）2+y2=1，

OA+OB+OD=（x-1，y+3），

∴|OA+OB+OD|=（x-1）2+（y+3）2.

问题转化为圆（3-x）2+y2=1上的点与点（1，-3）间距离的最大值.

∵圆心C（3，0）与点P（1，-3）之间距离为7，

∴（x-1）2+（y+3）2的最大值为7+1.

解法2 利用向量模不等式可得最值.

∵OD=OC+CD.设a=OA+OB+OC=（2，3），

|a|=7，且OA+OB+OD=a+CD，

∴|OA+OB+OD|=|a+CD|≤|a|+|CD|=7+1.

当a与CD同向时|OA+OB+OC|有最大值为7+1.

点评 解法（1）利用向量“几何法”，通过数形结合求得最值.而解法（2）则灵活应用了向量的不等式性质，解法显得更简便.